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数列の和Sn=3/2an+3-4n(n=1,2,3…)を満たしている時、anはどう表せますでしょうか?

A 回答 (1件)

S₁=a₁=(3/2)a₁+3-4


a₁=(3/2)a₁ - 1
(1/2)a₁=1
a₁=2

n≧2 のとき、
an=Sn - Sn-1
={(3/2)an+3-4n} - {(3/2)an-1 + 3 -4(n-1)}
an=(3/2)an - (3/2)an-1 - 4
2an=3an - 3an-1 - 8
an=3an-1 + 8……①

c=3c + 8……②
① - ②
an - c=3(an-1 - c)……③
②より、
c= - 4
③に代入
an + 4=3(an-1 + 4)

bn=an + 4 とおくと、
b₁=a₁ + 4=2+4=6

bn=3bn-1
{bn) は初項6,公比3の等比数列
bn=6・3^(n-1)

an + 4=6・3^(n-1)
an=6・3^(n-1) - 4
n=1 とすると、
a₁=6・3^(1-1) - 4=2
n=1 のときも成り立つ。

したがって、
an=6・3^(n-1) - 4
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