この解答の欠陥を教えてください 速さの問題

(問題)
地点Aから地点Bまでは下り坂で、地点Bから地点Cまでは上り坂が続く道がある。この道を兄がバイク、弟が自転車に乗って、地点Aから地点Cまでの道を休むことなく往復したところ、弟が往復に要した時間は、兄が往復に要した時間の1.5倍であった。自転車の下り坂での速さは上り坂での速さの2倍であり、バイクの下り坂での速さは上り坂での速さの1.4倍であったとき、上り坂での自転車とバイクの速さの比はいくらか。ただし、自転車、バイクともに、上り坂での速さ、下り坂での速さはそれぞれ常に一定である。

(私の考え方)
兄が往復に要した時間をtとすると、弟が往復に要した時間は1.5t。
自転車の上り坂での速さをaとすると下り坂での速さは2a、バイクの上り坂での速さをbとすると下り坂での速さは1.4b。
2人は同じ距離を進んだので、距離=速さ×時間より、
1.5t(a+2a)=t(b+1.4b)⇔1.5t×3a=t×2.4b
両辺をtで割って整理すると、
4.5a=2.4b
よって、
a:b=8:15



しかし正解は7:12でした。

解説を見ても、なぜこの解き方がダメなのか分からず…この考え方のおかしいところ、これではダメなところを教えていただきたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2021/03/05 21:37

1.5t(a+2a)＝t(b+1.4b) の式が間違っていませんか。

左辺の1.5tは往復にかかった時間で、aは上りの速さ、2aは下りの速さです。
「上りの距離」を見つけるためには、「上りの速さ」に「上りにかかった時間」をかけて求めます。
同様に、「下りの距離」を見つけるためには、「下りの速さ」に「下りにかかった時間」をかけて求めるはずです。
上りと下りを分けて考えなければなりません。上りと下りを一緒くたにして計算しても何も求められません。右辺も同様です。

この回答へのお礼

>上りと下りを分けて考えなければなりません。上りと下りを一緒くたにして計算しても何も求められません。

なるほど…！！やり直してみます、ありがとうございます。

お礼日時：2021/03/05 21:52

No.6 回答者： usa3usa 回答日時： 2021/03/08 07:05

＞この考え方のおかしいところ、これではダメなところを教えていただきたいです。

距離=速さ×時間より、
1.5t(a+2a)=t(b+1.4b)　←　ここ
弟が上り坂を走った時間をsとすると
距離は　as + 2a(1.5t-s) 　なのでは？

この回答へのお礼

お礼が大変遅くなりまして申し訳ありません。
御回答ありがとうございます。

お礼日時：2021/05/21 15:37

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/03/06 12:04

No.3　誤字が有ったので式訂正

1.5(L1/1.4b + L2/b + L2/1.4b + L1/b)=
L1/2a + L2/a + L2/2a + L1/a

を解く

No.4 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2021/03/06 07:03

お礼拝見しました。

数学のカテゴリーでのご質問ですが、あえて算数的に解いてみます。

この問題のポイントは、往復するのですから、行きは上りである道は帰りは下り、行きは下りである道は帰りは上り、行きと帰りで上り下りが入れ替わるわけですから、往復を通して考えると、バイクの場合も、自転車の場合も、上った距離と下った距離は同じであるところです。
さらに、同じ距離を進む場合、かかる時間と速さとは逆比になる（反比例する）ことです。

それではバイクと自転車を分けて、上り下りを比べながら整理してみましょう。

まずバイクの場合、
上りの速さ:下りの速さ＝1:1.4＝5:7
上る距離も下る距離も同じでしたから、
上りにかかる時間:下りにかかる時間＝7:5
と逆比になります。
ここで説明のために、バイクで上りにかかった時間を⑦、下りにかかった時間を⑤と書き表すこととします。（数学的には、5k、7kなどと表すべきかもしれません。）
ここから、往復にかかった時間は⑤＋⑦＝⑫であることになります。

次に自転車について考えます。
自転車で往復にかかった時間はバイクの1.5倍でしたから、
⑫×1.5＝⑱であるはずです。
ここで、
自転車で上る速さ:自転車で下る速さ＝1:2
でしたので、
自転車で上りにかかった時間:自転車で下りにかかった時間＝2:1であるはずです。
これらから、自転車で上りにかかった時間＝⑱×2/(1+2)＝⑫、となるでしょう。

従って、
バイクで上りにかかった時間:自転車で上りにかかった時間＝⑦:⑫＝7:12

として解くこともできそうです。

この回答へのお礼

お礼が大変遅くなりまして申し訳ありません。
とても勉強になりました…！方法は一つじゃないのですね。
御回答ありがとうございます。

お礼日時：2021/05/21 15:37

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/03/05 22:18

2点を、行きが時速40km、帰りが時速60kmだとしたら、往復の平均は50kmでは有りません。

48kmです。

時間は速度が分母に来るので(速度は時間が分母に来るのも同じ)単純平均できないからです。
-------------------------------------------------------------

AB間距離をL1、BC間距離をL2として式を立てる。
A⇒Bは下りだが、B⇒Aは登りになる事に注意。

AB間L1、BC間をL2とすると
自転車の時間：L1/2a + L2/a + L2/2a + L1/a
バイクの時間：L1/1.4b + L2/b + L2/1.4b + L1/b

バイクの時間×1.5=自転車の時間だから
2(L1/1.4b + L2/b + L2/1.4b + L1/b)=
L1/2a + L2/a + L2/2a + L1/a

これを解くと
12a=7b

∴a:b=7:12

この回答へのお礼

お礼が大変遅くなりまして申し訳ありません。
2回も考えてくださりありがとうございます！
やっと理解できました。。

お礼日時：2021/05/21 15:36

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/03/05 21:31

1.5t(a+2a)=t(b+1.4b)が間違い、これじゃ片道。

往復なんだから
3t(a+2a)=2t(b+1.4b)

これを計算すれば
15a=8b

∴a:b=8:15