追い越し算の内容が理解できないです。

問題で
AとBとCが池の周囲を回っている。Aは毎分100mの速さで歩き、BとCの二人は同じ速度で反対方向に走っている。AはBに9分ごとに追い越され、Cは3分ごとに出会う。このとき、池の周囲の距離は何mか。
とあって、解説に「AはBに9分ごとに追い越されということは、池の周囲１周分をAとBの速さの差と同じ速さで進むと９分かかるということです。｣と書かれていたのですが、この部分の解説がいまいち理屈が理解できていないです。

わかりやすく教えていただけたらと思います。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 皆さん回答ありがとうございます。質問文でミスがありました。
  正確には、「Aは毎分100mの速さで歩き、『一方』BとCの二人は同じ速度で『それぞれ』反対方向に走っている。AはBに9分ごとに追い越され、Cは3分ごとに出会う。」でした。
  失礼しました。

    補足日時：2016/08/23 12:29

No.7 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2016/08/19 15:20

質問者様へ。

問題文の入力ミスですよね。
文章の意味が通じません。
「BとCの二人は同じ速度で反対方向に走っている」のに、
「AはBに9分ごとに追い越され」と云う事はあり得ません。

Ｎｏ２　の方へ。
算数の問題になりますから、
「追い越し算」や「旅人算」「鶴亀算」「年齢算」「植木算」等では、
未知数にアルファベット文字を使用しての方程式は使えません。

本題です。
「AはBに9分ごとに追い越され」と云う事は、
例えば、ＡとＢが同時に出発をして、
Ａが池の周りを半周回った所でＢに追い越されたとします。
Ａは半周回ったのと、Ｂが1周半回ったのと同じ時間がかかったと云う事ですよね。
此の時間が9分間だったと云う事は、お互いの速度差で回れば
9分で池を1周すると云う事になるのですが、解りますか。

No.11 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/20 17:44

再三ですが、自身一発で理解できなかったため少々ムキになっています。

塩水の濃度などの問題の時、パーセントの数値はともかく塩の量の数値に宅目するように、速度についてもその効果に着目してみました。
効果、速度または時間、速度は時間については単位時間のため常に１です数値は距離の数値で与えられます。
そこて距離の効果に着目、Bの走行距離は９分で１周と900ｍは規定の事実が前提です。
Bの速度からAの速度（100ｍ/分）を減じる＝さの速度。
分速100ｍを減じる効果、距離にして１分あたり100ｍ、９分では900ｍ、Bの走行距離から900ｍ減じると、１周、９分で１周！、どこかで聞いた気がしますね、Bの速度からAの速度を引いた差の速度での結果ですよね。
自分でも信じられない思いで、・・・よね？、って再確認したくなるほどです。
いや、参った、参った。

No.10 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/20 17:44

再三ですが、自身一発で理解できなかったため少々ムキになっています。

塩水の濃度などの問題の時、パーセントの数値はともかく塩の量の数値に宅目するように、速度についてもその効果に着目してみました。
効果、速度または時間、速度は時間については単位時間のため常に１です数値は距離の数値で与えられます。
そこて距離の効果に着目、Bの走行距離は９分で１周と900ｍは規定の事実が前提です。
Bの速度からAの速度（100ｍ/分）を減じる＝さの速度。
分速100ｍを減じる効果、距離にして１分あたり100ｍ、９分では900ｍ、Bの走行距離から900ｍ減じると、１周、９分で１周！、どこかで聞いた気がしますね、Bの速度からAの速度を引いた差の速度での結果ですよね。
自分でも信じられない思いで、・・・よね？、って再確認したくなるほどです。
いや、参った、参った。

No.9 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/20 10:52

未知数をX、いわば仮定はまだ理解できますが、条件を仮定、それも複数ではとても理解できませんね。

速度の単位は（例　km/h）つまり分数です、これの数値はその数値を直接考えるのではなく、常に分子（ｋｍ）、分母（ｈ時間）を考える必要があります。
割合、例　濃度の％もそうです、この場合は分子も分母も同じ単位のためまだ理解しやすいかも？、それでも薄める問題では、分子の量（例　塩のグラム数）に着目する必要がありますね、％の数値をいくら眺め考えてもダメ出すね。
速度＝即、距離と時間がコンピューターの平行処理のように頭に浮かべば、簡単に理解できるのだろうと思います（残念ながら私の頭はそうではありません）、先天的なのか、訓練でそうなるか？。
いずれにしても数式、理屈で理解できれば、あとは場数の問題で、こういうパターンでは結果として、このやり方が正解、を身につけることは可能と思います。

No.8 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/19 19:12

こんな説明はどうでしょう。

速度差をいきなり考えずに、Bが分速で100ｍ/分、速度を落としたら、もちろん走る時間は９分。
距離にして１分で100m走れる速度がなくなるため９分では900ｍ短くなります。
Bが分速で100ｍ/分落とした時の速度は？、（元のBの速度ー100）m/分ですね。
これって、BとAの速度差ですね、走る距離は900m短くなれば１周の距離ですね。

No.6 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/19 10:28

自分でもすんなり理解できませんでした。

Aが止まっているとBは１周するだけですね、その時は同じ速度なら時間が短くなるか、同じ時間かけるなら速度が遅くなりますね。
これは容易に理解できます。
この遅い速度がどれだけ遅くなるのか具体的な内容（数値）？。
速度と距離は比例する、Bの速度で９分あれば、１周より９００ｍ余計走る、９分で９００ｍ走る速度分だけ速度を落とせば、距離で９００ｍ減る。
自身はこれで納得することにしました。

No.5 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/18 20:01

補足

NO1さんの焼き直しです。
Aさんが止まっていれば？、Aさんが９分で歩く距離分遅い速度で追いつく、止まっているAさんに追いつけば１周。
９分で歩く距離分遅い速度＝速度差

No.4 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/18 19:48

A、9分で1周とAが９分で歩く距離（900ｍ）走る、１周＋900ｍ

Aの速度100/分、Bの速度（900＋L）/9分＝100/分＋L/9
注　L＝一周の距離。
Bの速度ーAの速度　100/分＋L/9ｰ100/分＝L/9
速度の差はL/9、つまり分速L/9、で９分走れば、９L/9=L
距離や時間は棒グラフ状をそのまま実感できますが、速さ・速度は値そのものは棒グラフ状で表示できますが、そのままで、距離や時間の棒グラフとは比較できません。
２行目の式を暗記し、４行目の式を言葉で表現すれば、解説の通りになります。
又、４行目の式ではAの速度の値（100/分）は消えてしまいますね、残るのは差の速度。
これを言葉で表現したのがNO1さん。

No.3 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/08/18 19:36

追い抜き算と書かれているので方程式使って解かない。

問題文がおかしい。
「Aは毎分100mの速さで歩き、BとCの二人は同じ速度で反対方向に走っている。」
なのに
「AはBに9分ごとに追い越され、」
はありえない。反対方向なので出会うはずだよ。

　算数は、100%国語の問題ですよ。読解力の問題。

たぶん問題は、
「AとBとCが池の周囲を回っている。Aは毎分100mの速さで歩き、BとCの二人は同じ速度で、
【BはAと同じ方向に、Ｃは】
反対方向に走っている。AはBに9分ごとに追い越され、Cは3分ごとに出会う。このとき、池の周囲の距離は何mか。

　でないとならない。

　そして文章から、状況がちゃんとイメージできてますか？？池の周りをくるくる回り続けている三人の姿が・・
　
　そしたら
「AはBに9分ごとに追い越されということは、」
　AとBが並んだ瞬間に、Bは（池の周長離れた後ろから）追いかけてくる様子がわかるはずです。その速さは？？
　
「ＣはＡに3分ごとに出会うということは、」
　これも同じですよね。出会った瞬間、池の周長離れた向こうから、もう一人のＣが向かってきているということ。そして向かってくる速度は？？

　算数や数学は、曖昧模糊とした自然言語を読み解き、それを厳密な数式という人工言語に翻訳して考える道具ですよ。そもそもの文章や会話から意味が読み取れないと始まらないし、数式から自然言語に翻訳でないとなりません。
　絵のない本---マンガじゃない---を読んでないと、言語能力が失われる。だって漫画やアニメなんてイメージを作者が示してくれるからね。--だからリラックスできるが、ひたすら馬鹿になるだけ。同じ小説でも漫画や映画より文章だけのほうがはるかに面白いですね。あの長編のハリーポッターだって映画より小説のほうが何倍も面白い。

　算数得意になろうとしたら、本をたくさん読みましょう。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/18 12:57

AとBとCの速さを Va, Vb, Vc とすると（すべて単位は m/分）、Vc = -Vb ですね。

AとBは「追い越す」という表現があるので、同じ方向に回るのでしょう。

池の周囲の道のりを L (m) とすると、
　　A が一周するのにかかる時間： L(m)/Va(m/分) = L/Va (分)
　　B が一周するのにかかる時間： L(m)/Vb(m/分) = L/Vb (分)
です。これはよいですね？

　では、AとBが同時に同じ点をスタートして、Aが一周する間に、Bは進んでいますからこの間にAがBを追い越すことはありません。AがBを追い越すのは「一周プラスアルファ」のところです。この間にBは「アルファ」の部分しか進んでいません。
　この「最初にスタートしてから、最初に追い越すまでのAが進んだ道のり」を P (m) とすると、
　　P = L + Q
で、Q (m) は「最初にスタートしてから、Bが最初に追い越されるまでに進んだ道のり」ということになります。
　なので、
　　A が追いつくまでにかかる時間： P/Va = (L + Q)/Va = L/Va + Q/Va (分) = 9分　　①
　　B が追いつかれるまでにかかる時間： Q/Vb = 9分　　②

　そして、「スタートしてから追いつく（追いつかれる）までの時間(=9分)は同じ」ですから、これらが等しくて
　　L/Va + Q/Va = Q/Vb

　これを変形すると
　　Q ( 1/Vb - 1/Va ) = L/Va
　→ Q = L/[ Va( 1/Vb - 1/Va ) ]

　ここで
　　 1/Vb - 1/Va = (Va - Vb)/VaVb
ですから、分母は
　　Va( 1/Vb - 1/Va ) = (Va - Vb)/Vb
となって
　　Q = LVb/(Va - Vb)
これを②に代入すれば
　　L/(Va - Vb) = 9分
となります。

　これは「池の周囲の道のり L を速さ(Va - Vb)で一周する時間」ですよね。