問題のイメージがつかめません

水面からの高さ１０ｍの位置で、毎秒１ｍの速さで舟を綱で引き寄せている。綱の長さが２０ｍになったときの舟の速さを求めよ、という問題なのですが、どう解けばよいでしょうか

No.6 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2006/09/19 01:48

船までの距離を L 、船までの水平方向の距離を X とする。

時間による微分 X' はその時刻における船の速さ、L' は常に綱を引く速さ 1 である。
三平方の定理より
　L^2 = 10^2 + X^2
これを時間で微分して
　2LL' = 2XX'
あとは L = 20 のときの状況から X' が求められます。

No.9 回答者： matelin 回答日時： 2006/09/22 22:00

ＡＮｏ４です。

返事していただいて、ありがとうございます。
この問題を解く方針の概要を説明します。

綱の長さが２０ｍの時の船の位置をＡとし、
岸の上にいる綱を引く人が立っている位置をＢとします。
ＡＢ間の距離は２０ｍです。
また、Ｂの真下１０ｍの点をＣとします。
ＡＣは水面になり、ＡＣとＢＣは直角を成しています。
（図を描いてみてください）

三平方の定理より、ＡＣの長さは、１０√（３）です。
上の時刻からΔｔ秒たった後の船の位置をＡ’とします。
ＡＮｏ４より、求める速さは、
　ｖ＝ｌｉｍ［Δｔ→０］　ＡＡ’／Δｔ
です。そこで　ＡＡ’の距離を計算します。
　ＡＡ’＝ＡＣ－Ａ’Ｃ
直角三角形△Ａ’ＢＣを考えて、その一辺Ａ’Ｃを三平方の定理より求めます。
　Ａ’Ｃ＝√（Ａ’Ｂ＾２－ＢＣ＾２）
　Ａ’Ｂ＝２０－Δｔ
　　（なぜなら、綱を引く速さは１ｍ／秒なので、
　　　Δｔ秒間には綱は、１[ｍ／秒]×Δｔ[秒]＝Δｔ[ｍ]
　　　だけ短くなるから）
　Ａ’Ｃ＝√｛（２０－Δｔ）＾２－１０＾２）｝
　ＡＡ’＝ＡＣ－Ａ’Ｃ
　　　＝１０√（３）－√｛（２０－Δｔ）＾２－１０＾２）｝
　ｖ＝ｌｉｍ［Δｔ→０］　ＡＡ’／Δｔ
　　＝ｌｉｍ［Δｔ→０］［１０√（３）－√｛（２０－Δｔ）＾２－１０＾２）｝］／Δｔ
となります。後はこの極限値を求めればよろしい。
分子を有理化すれば、極限値が求まります。

以上の解法は、定義に基づく基本的な計算法です。
これを発展させると、ＡＮｏ．６さんの解法になります。

No.8 回答者： hika_chan_ 回答日時： 2006/09/20 07:49

問題の意味

水面から10m高い場所(堤防？)にいます。
そこから、水面に浮いている船をロープで引っ張っています。

こんな感じです。

引っ張っているロープの長さが20mになったとき
ロープと海面との角度は30度になっています。
(図を書いて考えてください[1:2:√3]の三角形です)

そのとき、速度をx成分(1*cos30°)、y成分(1*sin30°)に分けます。

船は浮かないので、y成分は無視します。
と、いうことで、速度が求まります。

No.7 回答者： hiccup 回答日時： 2006/09/19 08:55

No.6 に誤りがあります。

L' = -1 です。
ごめんなさい。

No.5 回答者： pascal3141 回答日時： 2006/09/19 00:58

たぶん中３ですね。

とすれば、「三平方」と「相似」を使います。具体的には、高さ１０ｍ斜辺が２０ｍの三角形の底辺は、１０√３ｍです。斜辺方向に１ｍで引っ張っているので、横方向の速さｘは、１：ｘ＝２０：１０√３で出ます。

No.4 回答者： matelin 回答日時： 2006/09/18 20:10

速さ　ｖ　の定義は、

　ｖ＝ｌｉｍ［Δｔ→０］　Δｘ／Δｔ
であることは、ご存知ですか?
ここで、Δｘ　は、Δｔ秒間の船の変位（分かりやすくいえば、移動した距離）です。
あなたが、これを習っているかどうかにより、答え方が違ってきますので、わたしのこの質問にお答えください。

この回答への補足

回答遅くなりすみません
はい習いました

補足日時：2006/09/22 14:17

No.3 回答者： apple_pie1 回答日時： 2006/09/18 17:53

高い位置から斜めに引き寄せているので、綱を毎秒１ｍ引っ張っても、

船がすすむ速度はそれより遅いはずです。崖、海、ロープを辺とした
三角形をかいて計算すると多分√3/2ではないでしょうか。

No.2 回答者： oosaka_ossan 回答日時： 2006/09/18 17:47

ごめん！船の進行方向の速度は、綱速度×ｃｏｓθだった。

修正してください。

No.1 回答者： oosaka_ossan 回答日時： 2006/09/18 17:44

つなのたぐる速さと、船の速度が同期している、すなわち、綱はたるまないとします。

綱の速さは綱の方向です、綱の長さが２０ｍ、高さが１０ｍならｓｉｎθ＝１／２です。
綱方向の速度に対して、船の進行方向の速度はｓｉｎθですから、綱速度が１ｍ／ｓなら、船速度は・・・
後はわかってください。