ゼロサムゲームにおいてのゲームの値ってなんですか？

ゼロサムゲームにおいてのゲームの値ってなんですか？

質問者からの補足コメント

• ゼロサムゲームの値が1ってどういうことですか？

    補足日時：2021/03/29 20:32

No.6 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/04/01 10:21

No5の訂正。

＞このゲームのナッシュ均衡を求めるだけだったら、この表からナッシュ均衡は（c,(a,a))、(c,(a,b))、(d,(b,b))の３つあることがわかる(なぜ？）。ただし、これら２つのうち、(c,(a,a))、（d,(b,b))はナッシュ均衡だけれど、サブゲーム完全ナッュ均衡ではないことがわかる。

と書きましたが、合っています（早とちりでした！）No5は無視してください。ちゃんと利得表を作って検証しましょう。

　 (a,a) (b,a) (a,b) (b,b)
ｃ 2,2 -2,-3 0,2 -2,-3

ｄ 0,4 0,4 0,5 0,5

この利得表において縦プレイヤーは企業IIで、横プレイヤーは企業Iです。
この表より(c,(a,a)), (c,(a,b)), (d,(b,b))はナッシュ均衡。たとえば、(d, (bb))はなぜナッシュ均衡かというと、企業Iが(b,b)のとき、企業IIが自分だけそこから離脱してdからcへ戦略を変更すると、企業Iの利得は０から-2へ減少してしまう。同様に、企業Iが(b,b)から左側にあるどの戦略に自分だけ変更しても利得は５で変わらないか、４に減少する。よって、(d,(b,b))はナッシュ均衡なのだ。

サブゲーム完全均衡とは、戦略の組がどのサブゲームでもナッシュ均衡となっているときナッシュ均衡はサブゲーム完全というが、このゲームには３つのサブゲームがあることに注意。No4で示したゲームの木を用いると、Aからはじまるゲーム全体（全体もサブゲーム）、Bから始まるサブゲーム、Cから始まるサブゲームだ。(c,(a,b))がサブゲーム完全均衡であるのは、まずゲーム全体でナッシュであることはすでに見た。Bから始まるサブゲームは企業IIの一人ゲームだが、aを選択するのが最適でナッシュであることはaをとれば企業IIの利得は２，ｂをとれば-3であるからだ。つぎに、同様に、Ｃから始まるサブゲームではｂが最適、よってこのサブゲームのナッシュだ。以上から、戦略の組（c,(a,b))はサブゲーム完全なナッシュ均衡なのだ。ほかの２つのナッシュ均衡がサブゲーム完全でないことは自分で確かめてください。

この回答へのお礼

確かめの作業は、後日したいと思います、ありがとうございました

お礼日時：2021/04/01 14:47

No.5 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/04/01 08:24

No4の訂正

＞このゲームのナッシュ均衡を求めるだけだったら、この表からナッシュ均衡は（c,(a,a))、(c,(a,b))、(d,(b,b))の３つあることがわかる(なぜ？）。ただし、これら２つのうち、(c,(a,a))、（d,(b,b))はナッシュ均衡だけれど、サブゲーム完全ナッュ均衡ではないことがわかる。

⇒
このゲームのナッシュ均衡を求めるだけだったら、この表からナッシュ均衡は（c,(a,a))、(c,(a,b)))の２つあることがわかる(なぜ？）。ただし、これら２つのうち、(c,(a,a))はナッシュ均衡だけれど、サブゲーム完全ナッュ均衡ではないことがわかる。

と直してください。(d,(b,b))はナッシュ均衡ではありません（なぜ？）

No.4 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/03/30 05:45

NO3への追記です。

この問題（あなたが閉じてしまった問題のこと）少し不適切ですね。利得マトリックスは同時手番ゲームのときはこれでよいのですが、この問題のように逐次手番ゲームでは「行動あるいはアクション」と戦略は異なります。先手番の企業IIの行動（戦略でもある）はｃとｄの2つですが、後手番の企業Ｉの行動はaとｂの２つ、戦略は(a,a),(b,a), (a,b), (b,b)の４つになる。利得マトリックスを書くなら、先手番の企業IIの戦略ｃとｄを縦に並べ、後手番の企業Ｉの戦略（a,a), (b,a), (a,b), (b,b)を横に並べて、２×４の利得マトリクスをつくる。すると、利得の組は第1行は左から（2,2), (-2.-3), (2,2), (-2,-3)となり、第2行は(0,4), (0,4), (0,5), (0,5)となる。なお、後手番の企業Iの戦略の、たとえば(b,a)とは、先手番の企業IIがｃをとるなら、企業Ｉはbを選択し、企業IIがdをとるなら、aをとるという意味。ほかも同様。企業IIが戦略cを選び、企業Iが戦略(b,a)を選ぶなら、そのときの、利得の組は(-2,-3)となる。利得の組の左の-2は企業II（先手番）の利得、右の-3は企業I（後手番）の利得だ。したがって、このゲームのナッシュ均衡を求めるだけだったら、この表からナッシュ均衡は（c,(a,a))、(c,(a,b))、(d,(b,b))の３つあることがわかる(なぜ？）。ただし、これら２つのうち、(c,(a,a))、（d,(b,b))はナッシュ均衡だけれど、サブゲーム完全ナッュ均衡ではないことがわかる。サブゲーム完全均衡は（c,(a,ｂ))だけだ。サブゲーム完全均衡とは、その戦略の組がすべてのサブゲームでナッシュとなっている、ナッシュ均衡のこと。

ではサブゲームナッシュ均衡は直接求めるにはどうしたらよいか？
ゲームの木を用いて表す方法を展開形ゲーム表現というが、ゲームの木を用いて、展開ゲーム表現で表すことを考える。まず、木の出発点をAと呼ぶと、Aは先手番の企業IIの手番を示す。Aから枝を2本描き、1本目をｃ、2本目をｄと入れる。展開形ゲームでは「枝」は各プレイヤーの「行動」を表し、枝ｃとｄは企業IIの行動を示している。ｃとｄの枝の先端点を、それぞれＢとＣとすると、分岐点ＢとＣは企業Iの手番を表しているが、そこからもそれぞれ2本の、行動aとｂを表す枝が出ているので、企業Iの行動を示す枝は計4本の枝からなる。
まず、企業IIがcをとると、Bに到達する。そこで、企業Iがaという行動をとると、一つの頂点に達する。それをDと呼ぶと、頂点Dに企業IIとIの利得の組は(2,2)を書き入れる。つまり、A-C-D(2,2)。同様に、A-B-E(-2,-3)、A-C-F(0,4)、A-C-G(0,5)の4つの「プレイ」があることになる。このゲームの木を眺めると、企業IIが手番Aでｃを選ぶなら、Ｂに達し、企業Ｉはaを選ぶので（なぜ？）、Dに達する。一方、企業IIが手番Ａでdを選ぶなら、Cに達し、企業Iはｂを選ぶので（なぜ？）、Ｇに達する。よって、企業Iの最適な戦略は(a,b)だ。企業Iの最適戦略(a,b)に直面した企業IIは戦略ｃを選択する(なぜ？）。このように、バックワードに解いたときの戦略の組（c,(a,b))はサブゲーム完全均衡解に一致することが知られている。

まとめると、ここで問題とされているゲームは逐次手番ゲームであって、同時手番ゲームではない！それなのに、「行動」をあたかも「戦略」であるかのように記述していること。プレイヤー（企業IIと企業Iのこと）の戦略とは、それぞれの事態でどの行動をとるかをあらかじめすべてもれなく指定した行動計画のこと。先手番の企業IIの戦略はｃとｄの２つだが、後手番の戦略は上述のように(a,a),(b,a),(a,b),(b,b)の４つになる。企業Iの戦略とは、企業Ｉがゲームをプレイするにあたり代理人を出して、その代理人がこの逐次手番ゲームの後手番をプレイすることになったときを考えてみてください。この代理人はこの４つの戦略のうちのいずれかを与えられないとプレイすることができないことを知ってほしい。企業Iの代理人は単にaをとれといわれても、相手（企業II)がｃをとったときなのか、ｄをとったときなのか、それともｃをとっても、ｄをとっても、aをとるのか、わからないので途方ににくれてしまう。つまり、(a,b)なのか、(b,a)なのか、それとも(a,a)なのかわからない、そのどれなのか、あらかじめ指定しておかないとプレイできないということ。

この回答へのお礼

理解が遅くなりまして、返信遅くなりました。
すみません。
サブゲーム完全ナッシュ均衡、初めて知りました。
展開形ゲーム表(樹形図っぽいの？)を回答者さんの解説を元に作ることができたので
この手の問題も捨てずに問題演習できそうです
(なぜ？の部分
企業Iがa選ぶ→2>-3だから
企業Iがb選ぶ→5>4だから
企業Ⅱはc選ぶ→2>0だから
このなぜ？のおかげで理解できました！！！
ほんとにありがとうございます)

さっそく今日2問ほど類題を探して解いてみます。
捨てなくて良かったです。
ご丁寧にありがとうございました。

お礼日時：2021/04/01 14:44

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/03/29 21:12

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12281569.html
を閉じてしまったようですが、早すぎませんか？いろいろ言いたいことがあったので整理していたら、閉じられてしまった！

この回答へのお礼

ここで失礼します。

ベストアンサーさんの解答を時間を空けて何回か読んで自分で解き直し
あ、この問題は自分には理解できないなと思い、
質問を締め切りました。

ベストアンサーさんの解答の何が分からないかと言うと
企業Ⅱはdを選ぶことで、なんのメリットもないというところと
企業Ⅰは相手企業Ⅱの情報が分かっていて
企業Ⅱは企業Ⅰの情報が分かっていないのに
企業Ⅱは企業Ⅰがなぜaを選択することを予測出来たのか謎でした
自分は企業ⅡはCを選ぶことにより利得がマイナスになることを避けられると考えています。
でもベストアンサーさんの言う通りdを選べば利得がプラスになることも少し理解できます、マイナスになることもあるのでは？と思ってもしまいます。
その結果諦めました。

考えた結果、自分がいつも触れていた、ナッシュ均衡や支配戦略、パレート最適の問題だけ解けるようにしよう！という結果になりました。

がしかしgootarohanakoさんの解答を、もし書いていただけるのなら、ここに乗せていただきたいです。
少しアドバイスお願いしたいです。。

お礼日時：2021/03/29 21:33

No.2 回答者： 春閑 回答日時： 2021/03/29 18:32

プラスの合計絶対値とマイナスの合計絶対値がゼロのゲーム。

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2021/03/29 09:03

プラマイゼロの証明。