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a>b>0で、a²+b²=7、ab=1をみたす実数を教えてください

gooドクター

A 回答 (5件)

a²+b²=(a+b)²-2ab



7=(a+b)²-2

(a+b)²=9

a+b=±3、a>b>0だからa+b=3

2数を足して3、掛けて1だから、2数は
x²-3x+1=0の解。
これを解くとx=(3±√5)/2

a>bだから
a=(3+√5)/2、b=(3-√5)/2
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正攻法


b=1/aなので
a^2+1/a^2=7
a^4-7a^2+1=0
a^2=(7±√(49-4))/2=(14±2√(45))/4=(√(9)±√(5))^2/2^2
a=(3±√(5))/2
式の対称性からbもこの値をとるが、a>bだから、
大きい方がa、小さい方がb。


a^2+2ab+c^2=7+2=9 →a+b=±3 を使う。
a>b>0だから a+b=3

b=1/a だから a^2 -3a+1=0 →a=(3±√(5))/2
後は正攻法と同じ。
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a²+b²=7, (ab)²=1 より、


x=a²,b² が x²-7x+1=0 の解である。
二次方程式を解いて、x = (7±√45)/2。
a>b>0より、a = √{ (7+3√5)/2 },
b = √{ (7-3√5)/2 }。

No.1 No.2 とよく似ているが、微妙に違う。
三次方程式のカルダノ解を構成するとき
これとよく似た方法を使ったはず。
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(a+b)²=a²+b²+2ab ですから、


条件の式から (a+b)²=7+2=9 。
a>b>0 ですから a+b=3 。
つまり a, b は x²-(a+b)x+1=0 の解になります。
従って、x²-3x+1=0 から 解の公式で、
x=(3±√5)/2 、a>b から a=(3-√5)/2, b=(3+√5)/2 。

尚、ab=1 から b=1/a として
a²+b²=7 に代入する方法もありますが、
最終的に 二重根号の処理が必要ですから
めんどくさくなります。
√{(7±3√5)/2}={√(14±2√45)}/2=(3±√5)/2 。
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b=1/a


a²+1/a²=7
a⁴-7a²+1=0
a²=(7±3√5)/2
b²=7-(7±3√5)/2=(7∓3√5)/2
a>b>0
a=√((7+3√5)/2), b=√((7-3√5)/2)
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