【線形代数】 基本変形によって階段行列にする時、正則出ないと単位行列にならないと思うのですが、どのタ

【線形代数】
基本変形によって階段行列にする時、正則出ないと単位行列にならないと思うのですが、どのタイミングで基本変形を終わりにしていいか分かりません。何かこれ以上変形でいきないという見分け方はありますか？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/27 09:54

第1列絶対値最大の行と第1行を交換する

(1 2 3)
(6 0 0)
(0 3 0)
↓第1行と第2行を交換する
(6 0 0)
(1 2 3)
(0 3 0)
↓第1行を第1列6で割る
(1 0 0)
(1 2 3)
(0 3 0)
↓第1列第2行が0になるように第2行-第1行とする
(1 0 0)
(0 2 3)
(0 3 0)
↓第1列第2～3行が0になったら
↓第2列絶対値最大の行と第2行を交換する
(1 0 0)
(0 3 0)
(0 2 3)
↓第2行を第2列3で割る
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 2 3)
↓第2列第3行が0になるように第3行-2*第2行とする
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 3)
↓第3行を第3列3で割る
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
単位行列になったので終わり
----------------------------------------
第1列絶対値最大の行と第1行を交換する
(1 2 3)
(6 0 0)
(0 3 3)
↓第1行と第3行を交換する
(6 0 0)
(1 2 3)
(0 3 3)
↓第1行を第1列6で割る
(1 0 0)
(1 2 3)
(0 3 3)
↓第1列第2行が0になるように第2行-第1行とする
(1 0 0)
(0 2 3)
(0 3 3)
↓第1列第2～3行が0になったら
↓第2列絶対値最大の行と第2行を交換する
(1 0 0)
(0 3 3)
(0 2 3)
↓第2行を第2列3で割る
(1 0 0)
(0 1 1)
(0 2 3)
↓第2列第3行が0になるように第3行-2*第2行とする
(1 0 0)
(0 1 1)
(0 0 1)
階段行列になったので終わり

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/27 08:44

>j列において、その対角要素以外の成分は0にしなくてもいいんですか？

階段行列にするというのは普通上三角化のことだと思うけど、これは
対角要素より下をゼロにすること。定義上対角要素より上は
ほっときます。

対角要素以外全部基本変形でゼロにするのは対角化。
ランクを求めるだけなら上三角化で充分だし
方程式解くのも上三角化+後退代入で充分。

単位行列までもってくのは掃き出しで
逆行列を求める時くらい。

後、訂正。
ヒボッティングは行の交換のケースもありますね。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/26 19:03

上のほうの行から順に階段化していって、

ある行から下が全部成分 0 になったところで終わり。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/26 17:38

えーと、階段化で単位行列にはならないと思うけど???

階段化はランク以上進めようとすると自動的に
掃き出しが不可能になるので、そこまでやればOK

対角要素を使ってそれより下の要素を消去するわけだけど
左端の対角要素から行の基本変形で消去を進めてゆく
対角要素がゼロだったらピボッティングする(列を入れ替える)。
それでもだめなら(行の要素が全部ゼロなら)そこでおしまい。

写真の行列は正則だから、掃き出し不能にはならないです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！質問なのですが、たとえば、j列目の対角要素で、j列において、その対角要素以外の成分は0にしなくてもいいんですか？できたらってことですかね？

お礼日時：2021/04/27 08:07