∑[n=1~∞] (1/n)^(1/n)が発散することを示せ という問題がわかりません。 lim a

∑[n=1~∞] (1/n)^(1/n)が発散することを示せ
という問題がわかりません。

lim a_n≠0なので∑a_nが発散と言えばいいと思うのですが(他のやり方でも思いついたら教えてください)、
lim a_n≠0がなかなか示せません。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/07 16:17

y = x^x (x > 0)とすると、対数微分を使って微分すれば

logy = xlogx
y'/y = logx + 1
y' = x^x・(logx + 1)

なので x > 0 では x = 1/e で最小になり
yの最小 ≒ 0.69

つまり (1/n)^(1/n) は正の下限があるので
Σ(1/n)^(1/n)　は発散します。

(1/n)^(1/n)は１に収束するようですね。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/07 10:07

1/an=n^(1/n) が収束することは、同じくAM-GM不等式から

n-2個の１と２個の√nから、1≦n^(1/n)を使って

1≦n^(1/n)={1・…・1・√n・√n}^(1/n)
≦{(n-2)・1+2√n}/n=1-2/n+2/√n → 1

あるいは
(1+√(2/n))ⁿ>1+n√(2/n)+{n(n-1)/2}√(2/n)²
=1+√(2n)+(n-1)≧n
　 → (1≦) n^(1/n)≦1+√(2/n) → 1

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/06 23:08

「もう少し詳しくお願い致します」というのは, どこにどう「もう少し詳しく」求めているのでしょうか?

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/06 19:12

(log x)/x → 0 as x→∞

この回答へのお礼

もしよろしければもう少し詳しくお願い致しますm(_ _)m

お礼日時：2021/05/06 20:36

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/06 17:13

n=1・1・…・n ( (n-1)個の１)にAM-GM不等式を使うと

n^(1/n)≦(1+1+…+1+n)/n=((n-1)+n)/n=2-1/n<2
したがって
Σ 1/n^(1/n) > Σ 1/2 → ∞