組合せの問題です。 りんご、みかん、ぶどうを合わせて5使う時の組合せが21通りになるらしいのですが、

組合せの問題です。
りんご、みかん、ぶどうを合わせて5使う時の組合せが21通りになるらしいのですが、3×3×3×3×3では何がダメなのでしょうか？

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/21 11:19

1個目ｘ2個目ｘ３個目ｘ４個目ｘ5個目

=3x3x3x3x3　
=243
という計算の243通りの中には
1個目から順に
リンゴ、リンゴ、ブドウ、ブドウ、ブドウ　を1通りとして数えています
ブドウ、ブドウ、リンゴ、ブドウ、リンゴ　も1通りとして数えています
ブドウ、リンゴ、ブドウ、リンゴ、ブドウ　も1通りと数えています
しかし、問題は並び順は関係なしという意味ですから
並び順を度外視すればこれらはすべて同じパターンで重複があるのです

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/21 12:53

順番で区別するならそれでよいけど果物の個数でしか区別しないなら

リンゴ、みかん、ブドウの個数を3桁の数字で表すと
それぞれ0個を許すなら
005, 014, 023, 032, 041, 050
104, 113, 122, 131, 140
203, 212, 221, 220
302, 311, 320
401, 410
500
で21通り

No.3 回答者： akari31 回答日時： 2021/05/21 13:22

「組合せの問題です」と書いてある、組合せと、重複組合せがあります。

順列とは書いてない。
重複順列でなく、重複組合せだから

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/05/21 14:11

＞3×3×3×3×3では何がダメなのでしょうか？

書きにくいので、りんご r, みかん m, ぶどう b とします。
5個使う時に (r, r, m, m, b) と (r, m, b, m, r) と (b, m, m, r, r) も
r 2個、m 2個、b 1個 で同じものですね。
あなたの計算は、これらは 全部 別物として カウントしたことになります。
更に 何も 取りださい場合が 考慮されていません。

r=5 のとき：m=b=0 で 1通り。
r=4 のとき : m と b どちらかが 1 で2通り。
r=3 のとき : (m, b)=(2, 0); (1, 1); (0, 2) で 3通り。
r=2 のとき : (m, b)=(3, 0); (2, 1); (1, 2); (0, 3) で 4通り。
r=1 のとき : (m, b)=(4, 0); (3, 1); (2, 2); (1, 3); (0, 4) で 5通り。
r=0 のとき : (m,b)=(5, 0); (4, 1); (3, 2); (2, 3); (1, 4); (0, 5) で6通り
以上全部で 1+2+3+4+5+6=21 で 21通り。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/21 18:12

3×3×3×3×3 の何がダメかについては、

No.4 が説明しているとおりです。

この問題は、「重複組合せ」といって
計算方法がよく知られています。
自分ではなかなか思いつかないような方法なので、
これを機に覚えてしまうとよいでしょう。

選んだ果物の組み合わせを、机の上に並べます。
皿を一列に並べ、その上に果物を置くのですが、
そのとき左から右へリンゴ,ミカン,ブドウの順に
並ぶように決めておきます。こうすると、
果物の選び方が、並べ方と一対一に対応します。

一旦そうして並べておいてから、
リンゴとミカンの間、ミカンとブドウの間の位置に
何か仕切りになるものを起きます。
仕切りを置くと、果物を全て取り去っても
どの皿に何が乗っていたかが判ります。
こうして、果物の並び方は
皿５枚と仕切り２つを一列に並べる並べ方と
一対一に対応します。

皿５枚と仕切り２つを一列に並べる並べ方は、
皿と仕切りの並びから仕切りの位置を選ぶ 7Ｃ2 ですね。