高校数学の初歩的な質問ですが( ˊᵕˋ ;) lim[h→0](cosh-1/h)を解くと0であるの

高校数学の初歩的な質問ですが( ˊᵕˋ ;)
lim[h→0](cosh-1/h)を解くと0であるのに対して、lim[h→0](sinh/h)では1になるのはなぜですか？
どちらも、h→0をすると0/0で1になると思ったのですが……
手元の本にはそれに対する記述が無かったので悩んでいます。教えていただけると嬉しいです。

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/26 17:21

>「ロピタルの定理は収束するときしか使えない」というのも微妙。

>たぶん、ダウトです。
確かに。成立の3条件をきっちりクリアしていれば OK ですね。
申し訳ない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94 …

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/26 16:03

端的に答えるなら、cosh と sinh は別々の関数だから。

それだけの話です。
lim[h→0](cos h - 1)/h = sinh 0,
lim[h→0](sin h - 0)/h = cosh 0 なので、
sinh 0 = 0 なのに cosh 0 = 1 なのは何故か？
という話ですからね。

「h→0 をすると 0/0 で 1 になる」というのは、違います。
たとえば、lim[h→0] h^4/h^2 = lim[h→0] h^2 = 0,
lim[h→0] h^2/h^4 = lim[h→0] 1/h^2 = +∞ は、
0/0 だからといって 1 にはならない簡単な例ですよね。

「ロピタルの定理は収束するときしか使えない」というのも微妙。
たぶん、ダウトです。
ロピタルの定理は、分子分母それぞれの微分が収束しないと使えませんが、
適用の結果 0/0 が 0/0 にしかならない場合にも反復して使うことができるし、
微分の結果分子が 0 以外へ収束、分母が 0 へ収束してもとの極限が発散
する場合にも使うことができます。
分子分母が 0 以外へ収束して極限の値が求まる場合には
もとの極限の収束も含めて結論することができ、
収束性を別途示す必要はありません。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/26 13:05

ロピタルの定理は収束することが「わかっている」関数

に対してしか使えないので、収束の証明をセットにする
必要があります。

なので、大学受験などで、回答に安易にロピタルの定理を使うと
零点くらいます。ご注意を！
あくまで、収束値の予想の参考ていどに使いましょう。

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/26 12:56

＃４　もひとつ補足

0/0→1は必ず正しいとは限りませんよ！

簡単に言えば分母、分子の小さくなる速度の比が　h→０の極限の答えとなるのです

例えば　
・小さくなる割合が同等な
h/hという関数では
lim[h→0]h/h=0/0ですが
あらかじめ　約分しておけば
Lim[h→0]h/h=Lim[h→0]1/1=1
これは　h=1のとき　h/h=1/1=1
h=0.5になった時　h/h=0.5/0.5=1
h=0.1になった時　 h/h=0.1/0.1=1
hがどこまで０に近づいても h/hが1のままであることを意味しています！

・分子の方が０に近づく速度が速い　h²/hというような関数の場合は
lim[h→0]h²/h=0/0ですが
あらかじめ　約分しておけば
Lim[h→0]h²/h=Lim[h→0]h/1=0/1=0
です
これは　h=1のとき　h²/h=1/1=1
h=0.5になった時　h²/h=0.25/0.5=1/2
h=0.1になった時　 h/h=0.01/0.1=0.1
hが０に近づくにつれて h²/hが小さくなっていき
h=0.01 h=0.001などをどんどん計算していくと
h²/hは究極０に近づくという意味です

このように0/0になる形は　いろいろな値を取る可能性があります
（これを不定形と言います）

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/26 12:42

＃４補足

なお、高校で習うか分かりませんが
0/0になってしまうような極限には　
ロピタル定理が　有用です

この定理利用で

lim[h→0](cosh-1/h)＝lim[h→0](cosh-1)'/(h)'
=lim[h→0](-sinh)/1
=0

lim[h→0](sinh/h)＝lim[h→0](sinh)'/(h)'
=lim[h→0](cosh/1)
=1

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/26 12:37

グラフに対応させてみるのも良いでしょう

微分係数の定義では　かみ砕いていえば
グラフの平均変化率を出しておいて　
平均変化率の分母を０に限りなく０に近づけるという操作をしています。
すると、ｘの増加量が限りなく０なんで　グラフで言えば接線の傾きということになります

では y=cosXのグラフ上に　(0,cos0)という点と　(h,cosh)という点を打点して考えてみます
(cosh-1/h)=(cosh-cos0)/(h-0)=ｙの増加量/ｘの増加量＝変化の割合
ですから　これにLimｈ→０が加われば
この変化の割合は　y=cosxグラフ上でいえば
(0,cos0)における接線の傾き　ということになります
y'=f'(x)=-sinxですから
ゆえに　
lim[h→0](cosh-1/h)=f'(0)=-sin0=0です

同様に
(sinh/h)=(sinh-0)/(h-0)=(sinh-sin0/h-0)
ですから　これにLimがつけば　これはy=sinxグラフの(0,sin0)における接線の傾き
すなわち　f'(0)=cos(0)=1
となるのです

No.3 回答者： 大地のしもべ 回答日時： 2021/05/26 12:37

cosh-1/h=cos^2-1/h(cosh+1)=sin^2h/h(cosh+1)=(sinh/h)•(sinh/cosh+1)

(sinh/h}→1(h→0) は公式です。教科書で確認してください。(sinh/cosh+1)の部分は0/1なので解くと0になります。0/0型になったら分解して分かる極限の積にしないと収束するのか発散するのか分かりません。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/26 12:36

cos h は 0 でテーラー展開すると

cos h = 1 - (1/2)h^2 + (1/24)h^4 - (1/720)h^6 + ・・・・

となるので

(cos h - 1)/h = - (1/2)h + (1/24)h^3 - (1/720)h^5 + ・・・・

は h → 0 では 0 に収束する。

同様に
sin h = h - (1/6)h^3 + (1/120)h^5 + ・・・・
(sin h) / h = 1 - (1/6)h^2 + (1/120)h^4 + ・・・・

だから h → 0　では 1 に収束する。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/26 12:22

簡単に言うと極限が0/0の形になるものの値は一つに決まりません。

a≠0であればa/a=1となりますが、a=0の場合はそうなりません。

h/h=m と置くと

mh=h…①

ここでもし h=0 とすると、①式はmがどんな値でも成り立ってしまいます。つまり0/0の値は決まらない事になります。