開集合でないことを示したいのですが・・・

F＝{(x1,x2,…,xk,0,…,0) │x1,...,xkは実数}がR^nの開集合でないことを示したいのです。

どんな図形をイメージするのかはわかりますが、具体的にどのx∈F(ｘにおいて開集合の定義を満たさない)をとってくればよいかわかりません。

証明をできる方教えてください。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/05 20:17

a∈R^n,ε>0

B(a,ε)={x|x∈R^n,|x-a|<ε}
とする
D={φ}∪{G⊂R^n|Gの任意の点aに対してB(a,ε)⊂GとなるようなB(a,ε),ε>0が存在する}
と
Dを定義すると
DはR^nの位相となる
Dの要素を開集合という

F＝{(x1,x2,…,xk,0,…,0) │x1,...,xkは実数}

a=(0,0,…,0,0,…,0)=0
とする
任意のε>0に対して

B(0,ε)={x|x∈R^n,|x|<ε}

x=(ε/(2n),ε/(2n),…,ε/(2n),ε/(2n),…,ε/(2n))={ε/(2n)}(1,1,…,1,1,…,1)
とすると
|x|=ε/(2√n)<ε
だから
x∈B(0,ε)
x(k+1)=…=x(n)=ε/(2n)≠0だから
xはFの要素ではないから
x∈B(0,ε)-F
だから
B(0,ε)⊂Fでない
Fの点0に対してB(0,ε)⊂FとなるようなB(0,ε),ε>0は存在しないから
Fは開集合ではない

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/01 23:50

F が開集合だとすると、Fの補集合 が閉集合になるので、

Fの補集合 を項に持つ点列が収束するならば、極限は Fの補集合 の元である。
第 j 項が (1/j, 1/j, ... 1/j) であるような点列は、
各項が Fの補集合 の元であって、R^n 内で収束するが、
極限は (0, 0, ..., 0) であり、 F の元になってしまっている。