極限値

lim(x→＋0）ｘ＾ｘ　の極限値を求めるにはどうすればよいですか？なるべく詳しく教えてほしいです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/06 17:49

lim[x→+0] x^x = lim[x→+0] e^( log(x^x) )

　　　　　　　　= e^( lim[x→+0] log(x^x) )
　　　　　　　　= e^( lim[x→+0] x log x )
　　　　　　　　= e^ 0
　　　　　　　　= 1.

lim[x→+0] x log x = 0 については、
x → +0 のとき x → +0 と log x → -∞ のどっちが強いか
が感覚的に解っていないと、ちょとヤバめ。

百歩譲って、ここに計算が必要だとしても、
t = -log x で置換して x log x = -t/e^t → -0
が直感的に判らなければいけないだろう。

それでもまだ説明が必要なら、
e^t の級数展開を使って
t > 0 のとき e^t = 1 + t + (1/2)t^2 + ... ≧ (1/2)t^2 から
0 < t/e^t < t/{ (1/2)t^2 } = 2/t → 0 でハサミウチ。