高3 積分 数3の問題

I(n)=∮[0⇨1](x^n)(e^-x)dx [n=0,1,2.....]とする。

①I(0)を求めよ
②I(n+1)をI(n)で表せ
③I(5)を求めよ

以上です
①は分かりました。②、③が解けません
解答のほど、お待ちしております
よろしくお願いいたします

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/07 12:33

(2)

I(n)=∮[0⇨1](x^n)(e^-x)dx より

I(n+1)=∮[0⇨1](x^n+1)(e^-x)dx
＝-∫[0→1](x^n+1)(e^-x)'dx
=-[(x^n+1)(e^-x)]+∫(x^n+1)'(e^-x)dx ：積分区間[0→1]
=(-1/e)+0+(n+1)∫(x^n)(e^-x)dx ：積分区間[0→1]
=(-1/e)+(n+1)I(n)…①

(3) ①にn=4代入で
I(5)=(-1/e)+5I(4)
①にn=3代入で
I(4)=(-1/e)+4I(3)
以下同じ要領で①に　n=2,1,0を順次代入
その結果を用いて
I(5)=(-1/e)+5I(4)
＝(-1/e)+5{(-1/e)+4I(3)}
=(-6/e)+4{(-1/e)+3I(2)}
=・・・
というように、I(●)の●の値を順次小さくしていくとやがてI(0)が出現して
締めに　(1)の答えを代入です

この回答へのお礼

ありがとうございました！
解けました！

お礼日時：2021/06/07 13:57