以下の式があった時にどのようなステップで方程式を解き、nを求めれば良いでしょうか?
2n = 4 のような簡単な一次方程式なら解き方は覚えているのですが、n乗などが混ざった時の解き方がわかりませんでした。階乗なども入っており余計混乱しています。
以下は1つのクラスに誕生日が同じ人がいる確率が50%の場合の式になります。
以下のnを求めたいのですが、エクセルなどを利用するのではなくステップbyステップで解く方法を知りたいです。
1/2 = 1 - 365! / (365^n *(365-n))
ステップbyステップとは例えば、
3x + 4 = 5 の一時方程式であれば、
(1) 3x = 5 - 4
(2) 3x = 1
(3) x = 1/3
のような感じです。
お手数ですが、よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
全ての式が解析的に解けるとは限りません。
お示しの式は
1/2 = 1 - 365! / (365^n *(365-n))
↓
365! / (365^n *(365-n)) = 1/2
↓
2 * 365! = 365^n *(365 - n) ②
↓
2 * 365!/365^n = 365 - n
までは変形できます。
ここで、左辺は「正」で、かつおそらく「n は正の整数」でしょうから
0 < 365 - n < 365
であり、従って
0 < 365!/365^n < 365/2 ①
までは絞り込めると思います。
365! は「とてつもなく大きい数」とはいえ「定数」ですから、それを①の範囲に納める n の範囲は絞り込めると思います。
②の両辺の対数をとれば
log(2) + log(365!) = n*log(365) + log(365 - n)
ここで、左辺の log(365!) は
log(365!) = Σ[k=1~365]log(k)
で、常用対数だと
log(1) = 0
log(365) = 2.56229・・・
ですから、全部足し合わせてもたかが知れています。
従って
n = {log(2) + Σ[k=1~365]log(k) - log(365 - n)}/log(365) ③
右辺にも n が残っていますが
1≦365 - n<365
なので
0≦log(365 - n)<log(365) ≒ 2.563
であり
0≦log(365 - n)}/log(365) <1
程度なので、③は
n ≒ {log(2) + Σ[k=1~365]log(k)}/log(365)
と書けると思います。
プログラム電卓なりエクセルがあれば計算できるかな?
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