確率の計算をしていただきたいです。 特に問題集の問題とかではなく、日常で気になったのですが計算方法が

確率の計算をしていただきたいです。
特に問題集の問題とかではなく、日常で気になったのですが計算方法がわかりません。
Q.ABCDEFGHの８人の選手がいるとします。
　また、次のように各アルファベットに数字を割り当
　てます。
　A:8 B:4 C:8 D:5 E:1 F:1 G:3 H:4
そして、AとB、CとD、EとF、GとHに戦わせ、
　残った4人はまた抽選でトーナメントを組みます。
　この時優勝-準優勝の番号が4-1になる確率は計算
　で求まるのでしょうか。
　それとも一つ一つ書き出して潰していくしかないの　
　でしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/08/26 08:55

求める確率は優勝-準優勝の番号が4-1になる場合で人は関係ありません。

そこで、数字だけに着目します。AとB、CとD、EとF、GとHの試合をそれぞれ1⃣、2⃣、3⃣、4⃣で表します。
２回戦後まで４と１が残る場合を考えますが、４については、1回戦後、1個残る場合と2個残る場合があるので場合分けして考えます。

①1回戦後に４が1個残る場合
1⃣、4⃣の結果一方だけ4が残り他方は4以外のとき、4以外の数字をXで表します。
また、2⃣の結果残る数字をYで表します。
1回戦後に残る数字は４，１，X、Yです。
1⃣の結果４が残る場合と4⃣の結果４が残る場合があるので、
このようになる確率は、(1/2)×1×(1/2)×1×2=1/2
（2⃣、3⃣の結果はどちらでもよいので確率は１です）

2回戦の組合せは、₄C₂/2=3（通り）考えられますが、2回戦後に４と１が残る場合を考えるので、2回戦での４と１の対戦（確率 1/3）は不適です。適するのは次の2通りで、それぞれの組合せになる確率は 1/3 です。
(ⅰ) ４とX、１とYの対戦の組合せ
2回戦後に４と１が残る確率は、(1/3)×(1/2)×(1/2)=1/12
(ⅱ) ４とY、１とXの対戦の組合せ
(ⅰ)と同様に 1/12
（X＝Y＝８となる場合もありますが1⃣の結果残った8と2⃣の結果残った8は区別）
よって、2回戦後に４と１が残る確率は (1/12)×2=1/6

以上より、3回戦後に優勝-準優勝の番号が4-1になる確率は、
(1/2)×(1/6)×(1/2)=1/24

②1回戦後に４が２個残る場合
１回戦後に残る数字は４，４，１、Yです。
このようになる確率は、(1/2)×(1/2)×1×1=1/4

2回戦の組合せは３（通り）
(1⃣の結果残った４と4⃣の結果残った４は区別)
(ⅰ) ４と１、４とYの対戦の組合せが2通り
2回戦後に４と１が残る確率は、(1/3)×(1/2)×(1/2)×2=1/6
(ⅱ) ４と４、１とYの対戦の組合せ
2回戦後に４と１が残る確率は、(1/3)×1×(1/2)=1/6
よって、2回戦後に４と１が残る確率は (1/6)×2=1/3

以上より、3回戦後に優勝-準優勝の番号が4-1になる確率は、
(1/4)×(1/3)×(1/2)=1/24

①、②より、求める確率は、
(1/24)×2=1/12

この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとうございます♪
おかげさまで理解できました

お礼日時：2021/08/27 21:08

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/27 13:10

No.1 です。

抽選の組合せ確率まで含めた「総合的な確率」を求めるのであれば、

第1回戦を勝ち抜いた4人の第2回戦の対戦組合せは、全部で
　4C2 /2 = 3 とおり
ですが、そのパターンは
(a)「1」を含む「EとFの勝者」と、「4」を含む「AとBの勝者 = B」または「GとHの勝者 = H」とが対戦する：２とおり
　→このパターンだと、「4」に一方は必ず負ける。
(b)「1」を含む「EとFの勝者」と、「4」を含まない「CとDの勝者 = B」とが対戦する：１とおり
　→このパターンだと、「4」はどちらも決勝に進める可能性がある。

(a) の場合が、#1 の「ケース1」の場合に相当して
「1」の E または F が決勝に残る　→　確率 (1/4) * 2 = 1/2
「4」の B または H に一方は必ず2回戦で負けるので、決勝に残るのは一方のみ　→　確率 1/4
従って、この組合せパターンの確率は 2/3 なので、このパターンで「決勝戦が 1 対 4 になる確率」は
　(2/3) * (1/2) * (1/4) = 1/12
　
(b) の場合が、#1 の「ケース2」の場合に相当して
「1」の E または F が決勝に残る　→　確率 (1/4) * 2 = 1/2
「4」の B または H が決勝に残る　→　確率 (1/4) * 2 = 1/2
従って、この組合せパターンの確率は 1/3 なので、このパターンで「決勝戦が 1 対 4 になる確率」は
　(1/3) * (1/2) * (1/2) = 1/12

以上から、決勝戦が「1」対「4」となる確率は、(a) と (b) の or なので
　(1/12) + (1/12) = 1/6
このうち「4」の方が勝つ確率は 1/2 なので、「優勝-準優勝の番号が4-1になる確率」は
　(1/6) * (1/2) = 1/12

#2 さんの結果と一致しますので、#2 さんの考え方が正しいのだと思います。

この回答へのお礼

わざわざ補足までありがとうございます⭐︎
とてもわかりやすかったです

お礼日時：2021/08/27 21:08

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/26 00:06

・AとB：B が勝てば「4」が勝ち残る。

・CとD：8 か 5 なので、この組は2回戦で敗退。
・EとF：どちらが勝っても「1」が勝ち残る。他に「1」が勝ち残る組はない。
・GとH：H が勝てば「4」が勝ち残る。

より、優勝-準優勝の番号が4-1になる組合せは
・「AとB」または「GとH」の「4」が決勝まで勝ち残る
・「EとF」の勝った方が決勝まで勝ち残る
ということです。

従って、勝ち残り方として

（ケース1）
(a)「A と B の勝者」対「C と D の勝者」
(b)「E と F の勝者」対「G と H の勝者」
で、決勝は「a と b の勝ち残り」ということであれば、
(a) B が勝ち残る　→　確率 1/4
(b) E または F が勝ち残る　→　確率 1/2
ということで、
・優勝が「4 = B」の確率：1/8
・準優勝が「1 = E or F」の確率：1/4

（ケース２）
「A と B の勝者」「E と F の勝者」の対戦相手は勝ち残ったチーム同士の抽選で決める、ということであれば
(c) B or H が勝ち残る　→　確率 1/2
(d) E または F が勝ち残る　→　確率 1/2
ということで、
・優勝が「4 = B or H」の確率：1/4
・準優勝が「1 = E or F」の確率：1/4

ということでしょうか。

もちろん、どの対戦でも「勝負は時の運」で勝つ確率が 1/2 としています。