無限に続く式の解

1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…＝？
という問題があったとき、この式のからは幾つ位の答えが出てくるのでしょうか
私は次の3つを考えましたがこれ以外にあったらおしえてください。

(1)　1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…
　＝(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+…
＝0+0+0+0+0+…
　＝0

(2)　1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+…
＝1+0+0+0+0+…
　＝1

(3)　1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…＝Sとする
　S＝1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…
　 ＝1-(1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…
＝1-S
2S＝1
S＝1/2

と1,-1,1/2の三つが出ました。これ以外に解あったら教えて下さい

No.10 回答者： tenro 回答日時： 2005/03/07 17:07

No.8です。

収束因子としていくつか試してみました：
　　b(n,a)=1/(1+a×n^s)　（但し、s>0)
など。しかし、いずれの場合も
　　S(a) = Σ(-1)^nb(n,a)
は、a→0の極限で1/2になります。多分、b(n,a)が一定の条件を満たせば、全て1/2になるような気がします（どなたか証明してみてください）。ですので、No.5さんの言われるように1/2とするのが応用上良いと思われます。
　　

No.9 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/03/07 15:23

発散級数の利用法については何人かの方が回答されていますが、実際応用数学方面では発散級数の利用というものもよく行われているようですが、まず

これの答えが存在する、という前提に立てば、という話なわけです。
高校数学あたりではそもそもこの和は存在しないとかんがえているわけで、存在するという前提に立った計算自体が無意味になるわけです。

No.8 回答者： tenro 回答日時： 2005/03/07 11:18

nと共に急減少し、しかしパラメータaをゼロに持って行くと個別には1になる因子をかけて和をとってみます。

例えば、そのような因子としてexp(-an)を選びます。和をとるのに便利なので添え字nは0から∞まで動くとします。このとき、a>0のとき
　　S(a) = Σ(-1)^nexp(-an)
は絶対収束し
　　S(a) = 1/(1+exp(-a))
となります。そこで、極限の順番を入れかえて
　　lim（a→0) S(a)
によって
　　Σ(-1)^n
を定義すれば、値は1/2となります。因子exp(-an)のかわりに同じ性質を持つ他の因子を選ぶと任意の値を得ることができるかもしれません（まだ考えていません）。

No.7 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2005/03/06 23:18

a_i=(-1)^i(i=0,1,…)

S_n=Σ(i=0～n)a_iとすると
limsup(S_n)=1,liminf(S_n)=0
ここから、結論をどうするかは(あなたの)定義次第
普通は、limsup≠liminfなら発散で片付ける
lim:=(limsup+liminf)/2と定義することも可能だと思うし
lim:=(limsup*liminf)^(1/2)と定義することも可能だと思うし(値が複素数になりうるから妥当ではないかもしれないけど)
いろんなことが考えられますね

No.6 回答者： shkwta 回答日時： 2005/03/06 21:28

これは、何か厳密な数学理論ではなくて、単なる「パズル」ですね？

任意の値を出せます。
aを任意の実数、a+b=1として

1-1+1-1+1-1+・・・
＝a+b-b-a+a+b-b-a+a+b-b-a+・・・
＝a+(b-b)-(a-a)+(b-b)-(a-a)+(b-b)-・・・
＝a+0-0+0-0+0-・・・
＝a

No.5 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/03/06 21:15

級数の項のrearrangementは一般には絶対収束する級数だけに許され、条件収束や発散級数には許されません。

しかし発散する級数はしょっちゅう出てきます。発散するから意味がないとは言っておられません。和を発散級数に拡張するための重要な方法としてチェザロの総和法とアーベルの総和法があります。チェザロの総和法は級数の第n項までの和を Sn としたとき、
　lim(n→∞){(S1+S2+… +Sn)/n}
で定義されます。チェザロの総和法では
　1-1+1-1+… = 1/2
となります。またアーベルの総和法は|x|<1 のとき
　1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 +…
が成立することを使います。xが小さい方から１に近付けるとやはり
　1-1+1-1+… = 1/2
この級数の和は1/2と考えるのが良いようです。

No.4 回答者： jmh 回答日時： 2005/03/06 15:04

"解"ではないです。

Ａ１＝Ｂ１＝１とします。

Ａ１－Ｂ１＋Ａ２－Ｂ２＋Ａ３－Ｂ３＋…
＝Ａ１＋Ａ２＋（Ａ３－Ｂ１）＋（Ａ４－Ｂ２）＋…
＝Ａ１＋Ａ２
＝２

No.3 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2005/03/06 14:30

まず、始めに、四則演算は有限個の場合まで定義します

次に、無限個の場合には、収束という概念に基づいて
新たに定義しています．
この場合、その値が(実数の範囲で)ない場合もありうるのです
質問者様のような答えを成り立たせるためには、それなりの定義をしなおす必要があります

No.2 回答者： kfir2001 回答日時： 2005/03/06 13:31

この式の値は「振動」していますから、「解なし」又は「振動」が正解で良いでしょう。

No.1 回答者： graduate_student 回答日時： 2005/03/06 12:42

S=1/2ってのは存在しますか？

一般項(an)はan=(-1)^(n-1)ですよね？
そうすると和(Sn)はSn＝(a1(1-r^n))/(1-r)=(1-(-1)^r)/2になると思います．
ここでrの吟味ですが，r=偶数の時，Sn=0，r=奇数の時、Sn=1となります．
ですので，S=1/2はないと思うのですが・・・