級数が絶対収束したら収束？

解析入門３０講という本を読みました。
級数の収束のところで、

(1) X = X0で Σ Ak X^k が収束
　　→ |X|<|X0| なる x で Σ Ak X^k が絶対収束

と書いてありました。
しかし、そのすぐ後に、

(2) 「収束しても、絶対収束しない関数がある」

と書いてありました。

(1)と(2)は矛盾しているような気がするのですが、どうでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/01/20 19:16

(2)は「関数」ではなく「級数」でしょ？

＃志賀さんの「30講シリーズ」かな

まず，級数の収束には
・絶対収束
・条件収束
というものがあります

「Σ a_k が絶対収束する」というのは
Σ |a_k| が収束することをいいます．
級数が絶対収束するならば収束します．
しかし，逆，つまり
「級数が収束するならば絶対収束する」というのは成り立ちません．
「収束するが絶対収束しない」ことを「条件収束」といいます．

そして，(1)は
級数のうち
「べき級数」と呼ばれる特別（かつ重要）なものに
ついては，ある点で収束すれば，
「その内側では絶対収束する」といっているだけです
決して「すべての級数」ではありません．
したがって，(2)の実例は「ベキ級数」ではありません．
当然矛盾はしません．

ちなみに，絶対収束する級数は
「項の順序を変えても収束する値は同じ」
という重要な性質があります．これを用いて
「級数の積」などを簡単に考えることができます．
条件収束の場合は，順番を変えるのはご法度です．

この回答へのお礼

なるほど！
よく分かりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2007/01/21 01:10

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2007/01/20 19:14

べき級数の場合は収束半径内のxにおいては、収束すれば絶対収束

します。

しかし、他に、たとえば、
Σ(-1)^(n-1)・sin(x/n)（ここに、x＞0）
のような級数を考えると、どんなxに対してもnを十分大きくとれば、
sin(x/n)は単調減少して0に収束し、この級数はnが十分大きいとこ
ろでは、いわゆるライプニッツの交項級数となって収束します。
しかし、絶対値を取った級数
Σ|sin(x/n)|
は収束しません。
（∵sin(x/n)～x/n（n→∞）で、調和級数は発散する）

No.1 回答者： koko_u 回答日時： 2007/01/20 18:16

関数が「絶対収束」するとは言わないので、white-tiger氏が何か勘違いしているのだろう。