どのようにして求めれば良いですか？ 極限,リミットn矢印無限 〔(2のn乗)分の[π+√{(πの2乗

どのようにして求めれば良いですか？

極限,リミットn矢印無限
〔(2のn乗)分の[π+√{(πの2乗)+(4のn乗)}]〕の(2のn乗)乗

言葉ではわかりにくいと思うので画像を載せます。
愚直に無限を代入すると不定形になってしまうので置換や変形をすると思うのですが…。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/05 21:42

与式 = lim[x→∞] [ { π + √(π^2 + x^2) }/x ]^x　　；2^n = x

　　 = lim[y→∞] [ { 1 + √(1 + y^2) }/y ]^(yπ)　　；x = yπ
　　 = ( lim[y→∞] [ { 1 + √(1 + y^2) }/y ]^y )^π
ここまではコケオドシを整理しただけ。
lim[y→∞] [ { 1 + √(1 + y^2) }/y ]^y を求めよう。

{ 1 + √(1 + y^2) }/y = 1 + t と置くと、
t = { 1 + √(1 + y^2) }/y - 1
　= { 1 + √(1 + y^2) - y }/y
　= [ { 1 - y + √(1 + y^2) }{ - 1 + y + √(1 + y^2) } ]/[ y{ - 1 + y + √(1 + y^2) } ]
　= [ - (1 - y)^2 + (1 + y^2) ]/[ y{ - 1 + y + √(1 + y^2) } ]
　= [ 2y ]/[ y{ - 1 + y + √(1 + y^2) } ]　　；分子の有理化
　= 2/{ - 1 + y + √(1 + y^2) }
で y→∞ のとき t→0.

lim[y→∞] [ { 1 + √(1 + y^2) }/y ]^y
　= lim[y→∞] [ 1 + t ]^{ (1/t)・ty }
　= [ lim[t→0] (1 + t)^(1/t) ]^{ lim[y→∞] 2y/{ - 1 + y + √(1 + y^2) } }
となるが、

y = 1/h と置くと
y→∞ のとき h→0 で、
2y/{ - 1 + y + √(1 + y^2) }
　= 2/{ - h + 1 + √(h^2 + 1) }
　= [ 2{ h - 1 + √(h^2 + 1) } ]/[ { - h + 1 + √(h^2 + 1) }{ h - 1 + √(h^2 + 1) } ]
　= [ 2{ h - 1 + √(h^2 + 1) } ]/[ - (h - 1)^2 + (h^2 + 1) ]
　= [ 2{ h - 1 + √(h^2 + 1) } ]/[ 2h ]　　；分母の有理化
　= { h + √(h^2 + 1) - 1 }/h

f(x) = x + √(x^2 + 1) と置けば、
lim[y→∞] 2y/{ - 1 + y + √(1 + y^2) }
　= lim[h→0] { h + √(h^2 + 1) - 1 }/h
　= lim[h→0] { f(h) - f(0) }/h
　= f'(0)
　= 1 + x/√(x^2 + 1) when x=0
　= 1

以上より、
与式 = ( e^1 )^π = e^π.

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/09/05 23:56

y=2ⁿ とおくと y → ∞ で与式をAと置くと

　A=[{π+√(π²+y²)}/y]^y=[π/y+√(π²/y²+1)]^y={x+√(x²+1)}^(π/x)
ここで、
　x=π/y
と置いた。すると x → 0

　logA=[log{x+√(x²+1)}](π/x)
となり、これは0/0のタイプなのでロピタルすると
　logA → π{1+x/√(x²+1)}/{x+√(x²+1)} → π
すなわち
　A → e^π