日本人の数学と世界の数学

日本人の数学教育の特徴は何でしょうか。欧州留学中なのですが、計算方法の違いで時々現地人とぶつかることがあります。

例えば、日本なら小学校か中学校で習う台形の面積を求める公式：(上底プラス下底)X高さ／２

この公式を組み込めばメインの計算がシンプルになるのに、３人中３人が「台形を正方形と三角形に分けてから各々の面積を求めて足す」と主張していました。それで本計算がどんなに複雑になろうと、台形の公式なんて見たこともないから使う必要もない、と言っています。他にも、私はよく、XとYを組み込んだ方程式を自分で作って計算することが多いのですが(その方が自分にはわかりやすいから)、彼らは一般方程式を作るよりも、計算のステップを全て紙に書いて説明しようとします。

一体どういう理由でこのような違いが現れるのでしょうか。また、それぞれの長所短所などもあれば教えて下さい。

No.5 ベストアンサー 回答者： tkfm 回答日時： 2005/03/11 11:40

（私は数学者でも教育者でもありませんが）

学者とは，未知・未経験の問題にいかに解を与えることができるか，その能力に優れた人達でしょう．

難解な問題を，いかに既知の問題に分解するか，そしてその本質部分を見つけ，必要があればさらにそこをつきつめてゆく．

もちろん，多くの公式を覚えてそれを使いこなせることはすばらしいことです．しかし，数学公式集を見れば判るとおり，膨大な数の公式があります．全て覚えることは一般人には不可能ですから，特殊なものは除外してなるべく根本的なもの，応用が効くもの，よく使うもの，導くのに時間がかかるもの，を選択して覚えるのが良いと思います．

（よく使うものは自然に覚えますが）

今回の場合のいきさつがちょっと不明ですが，単に台形公式を教えても，その考え方が理解できなければ使わないでしょう．

台形公式は２つの台形を上下をさかさまにして組み合わせたとき，平行四辺形となることを利用していますが，平行四辺形になることも証明してあげなくては理解されませんね．

台形を長方形と三角形に分割するのは簡単です．

その上で数式的にも
　ah+(b-a)h/2=(a+b)h/2
とシンプルになるのだと教えてあげましょう．

ただ，台形公式を覚える必要があるかどうかですが，一般人はこの公式を使う機会はめったにないでしょう．必要な場合は
　台形→平行四辺形→長方形
　台形→長方形＋三角形
のように１ステップで簡単に戻れますしね．

もう少しステップ数が多くなると，頻繁にそれを使う場合や，限られた時間内に解かなくてはならない場合に困りますので，一々戻らずにすむように公式として覚えるのが良いと思います．

この回答へのお礼

皆さん、御回答どうもありがとうございます。興味深く読ませて頂きました。私の経験では例えば、学生のみでなく先生までもstep by step で紙に書いて説明するので一体全体皆どうしてしまったのかしらん、と疑問に思った次第です。

私が頭の中で瞬間に作る方程式なども、日本人なら即座に理解して納得してくれそうなのに、欧米の人達はまず混乱のステップを経てから、紙に自分達のやり方を書き出しやっと納得します。同じ計算を違う数値で何度もするなら、絶対にXとYの簡単な方程式を作った方がその後楽だ、と私が思うのは、合理性を重視する日本の数学教育を受けて来た影響なのでしょうか。「どうして君はいつもXとYを使いたがるのだ！」と言われても、それに慣れているから、としか返しようがありません。

やり方は違えど、答えが同じで各々が納得している限り、別にかまわないと思うのですが、私の方法が毎回批判され、方程式も台形の公式もいちいち分解して説明しなければなりません。それでも頑固な人は理解すらしようとせず、結局step by step の複雑で長い計算のみで通そうとします。

私個人としては、背景さえ把握し他人に説明できるならば、日本の数学を使う方が何かと便利だと思うのですが。。。方程式を使っても、それを導く仮定を省略しているだけで、決して丸暗記だとかいうことにつながるとは思えないのです。

日本人の数学は、世界では一般的にどう評価されているのでしょうか。それとも、こんな風に異文化間であれこれ比べて理由を知りたがるのは私くらいで、そんなこと誰も気にしてないですかね (そんな気もしますが)。またもし何か御意見があればお願いします。

お礼日時：2005/03/11 14:07

No.6 回答者： FM-8 回答日時： 2005/03/15 20:35

ご質問の意図を正確に分かっていないと思いますが，

ご質問者の言う，「欧州」の感覚に私は近いものを感じますね．

たとえば，二次方程式を解く際に，「解の公式」を使わずに，
　(ax+b )(cx+d )=0
-> ax+b=0 または，cx+d=0
と計算するのが好きです．
あるいは，二次形式
　(ax+b )^2 + d = 0
として計算するのが好きですね．
いわゆるテキストにある「別解」というやつです．

私は，公式よりも，その公式を導出する過程がより重要
だと思います．

数学の一部は，物理や化学にツールとして
使用されますが，そのときには，
式には必ず．「仮定」という前提条件が必要になります．
もしも，公式をそのまま記憶していたら，
この「仮定」を見過ごして，とんでもないとんちんかんな解答をしてしまう可能性があります．

回答になってませんね．すみません．

No.4 回答者： shinobinomono 回答日時： 2005/03/11 11:03

　日本の子どもたちの数学の力は近年落ちてきてるとはいえ、世界トップレベルです。

しかし、数学がおもしろいとか、将来役に立つとか感じている子どもの割合は、最低レベルです。テストで高い点数をとらせることが目的である教え方のつけと考えればよいでしょう。
　合理性を考えれば台形の例でも、公式を使った方がよいのはわかりますが、なぜそうなるか分かって使っている生徒は一部しかいない。こうゆう積み重ねが数学嫌いを作っているのでしょうね。
　すみません、回答になっていなくて。

No.3 回答者： Buchikun 回答日時： 2005/03/11 09:28

まず、回答でなく単なる感想ですが、

>台形の面積も欧米の人は四角形と三角形に分けて足します
これも、単純暗記の気がしますよ。
合理的に考えれば、三角形二つでしょう？
三角形の面積が(底辺x高さ÷2)、それを台形に応用したのが台形の公式ですから(先にそれぞれの三角の底辺、すなわち上底+下底を計算して、共通の高さで掛けて2で割る)、この台形の例だけで、日本の教育だけが暗記主義、という訳ではないのでは？
道順を重視するなら、四角と三角に分けるの以外にも、三角二つに分ける考え方もあって良いはずです。
もちろん、質問者さんが聞きたい回答はこんな重箱の隅をつつくような回答でなく、もっと大きな意味だとは思います。なので、以下は私見ですが、参考まで。
欧米では神様であり聖書という絶対的な"正解"が存在する、という考えが根本にあると思うのです。
その解釈で人間が考え、悩むわけですね。
だから、他の回答者さんの言うように、考え方を重視するのだと思います。しかし、日本、というか仏教的な考え方では、個は全、全は個というそもそも正解など見当たらない思想が根底にある気がします。
道順云々ではなく、状況に応じて道順も答えも違う、という考え方です。
したがって、数学の場合も与えられた情況を仮定して、一つづつ積み重ねて"その場合の答え"を探して行くのだと思います。似た状況に便利に対応できる公式を生み出していった結果、暗記主義というか、公式だらけになったのでは？
台形に話を戻すと、西欧では考えの根底に天は天という絶対的な固定観念があるので、三角を逆にする発想には納得できず、四角と三角とに分けるのではないでしょうか。

No.2 回答者： masa072 回答日時： 2005/03/11 07:54

日本と欧米では決定的な違いがあります。

日本…引き算型
欧米…足し算型
どういうことかというと、「67円のものを買うとき100円出したらいくらおつりがくるでしょう」という問題があると、
日本…100-67=33
欧米…67+x=100として、和が100になるようにxに数字を加えていく（例えば、まずx=3とすると67+x=70．あと30を加えたら100になるからxは33、という考え）。
というふうに考えます。
また、日本ではさまざまな公式を教えますが、欧米では最低限の公式のみを教えて、さらに公式までの導出過程を大事にしています。

なので、台形の面積も欧米の人は四角形と三角形に分けて足します。

No.1 回答者： ceita 回答日時： 2005/03/11 06:53

数学者でもないですし、

教育者でもないので、単なる感想になってしまうのですが。

日本は結果を重視して、
欧州のその学校は過程を重視しているように思います。

算数レベルですと、
公式覚えて結果が出ればいいように思いますが、
大学から院ぐらいになって研究となると、
公式使って答えがぽーんと出るようなものではなく、
自分で論理を組み立てなければならなくなります。

公式にしても自分で一回導いて納得して使うのならば、
よいと思います。
安易に暗記して使うのは思考の停止です。