ヤコビアン行列の問題なのですが、答えがuまたはvではなくて、u-vになる理由を教えて欲しいです。

ヤコビアン行列の問題なのですが、答えがuまたはvではなくて、u-vになる理由を教えて欲しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/07 20:36

例えば

　　H = ∫∫ h(x,y) dx dy （積分範囲は(x,y)∈A）
を計算する際に
　　x = f(u,v)
　　y = g(u,v)
と変数変換したとすると、
　　dx = (∂x/∂u)du + (∂x/∂v)dv
　　dy = (∂y/∂u)du + (∂y/∂v)dv
この係数行列がヤコビアン行列 J
　　∂x/∂u, ∂x/∂v
　　∂y/∂u, ∂y/∂v
です。そして、その行列式をdet(J)とすると
　　H = ∫∫ h(f(u,v),g(u,v))|det(J)| du dv （積分範囲は(f(u,v),g(u,v))∈A）
となる。絶対値に注意です。

　で、ご質問ではどうやら、
　　x = f(u,v) = u+v
　　y = g(u,v) = uv
という変数変換をやったらしい。なのでヤコビアン行列 J は（上記の偏微分をやってみればわかる通り）
　　1, 1
　　v, u
であり、
　　|det(J)| = |u - v|
ということ。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/07 20:39

意味不明ですが、計算するだけです。

J=[[[∂x/∂u,∂x/∂v],[∂y/∂u,∂y/∂v]]=[1,v],[1,u]]=u-v