積分で面積を求める問題について

y=x , y=xlog(1+X)　に囲まれた部分の面積の求め方が分かりません。
説明お願いします。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/16 06:22

f(x)=x

g(x)=xlog(1+x)
に囲まれた部分の面積をS
とする
f(x)-g(x)=x{1-log(1+x)}
f(0)-g(0)=0
f(e-1)-g(e-1)=(e-1)(1-1)=0
0<x<e-1の時
1<1+x<e
0<log(1+x)<1
0<1-log(1+x)<1
0<x{1-log(1+x)}=f(x)-g(x)
f(x)-g(x)=x{1-log(1+x)}>0
だから

S
=∫_{0～e-1}x{1-log(1+x)}dx
=[3x^2/4-x/2+{(1-x^2)/2}log(1+x)]_{0～e-1}
=3(e-1)^2/4-(e-1)/2+{1-(e-1)^2}/2
=3(e-1)^2/4-(e-1)/2+(1/2)-(e-1)^2/2
=3(e-1)^2/4-(e-1)^2/2-(e-1)/2+(1/2)
=(e-1)^2/4-(e-1)/2+(1/2)
={(e-1)(e-3)+2}/4
=(e^2-4e+5)/4