f(x):=e^-1/x(x>0),0(x≦0)のテイラー級数とfが一致しないのは何故ですか？ どの

f(x):=e^-1/x(x>0),0(x≦0)のテイラー級数とfが一致しないのは何故ですか？
どのような条件を満たしていないから一致しないのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/27 19:10

f(x) は、実関数ですね。

実関数、複素関数と違って
「任意回微分可能」と「冪級数展開可能」が異なる概念です。
(複素関数だと、どちらも単に「正則」で共通ですが。)
このため、実関数の冪級数展開を考えるときには、常に
収束半径を考えることが必要になります。
質問の f(x) は各階導関数の x = 0 での値が全て 0 なので、
よくあるダランベール法で収束半径を求めることはできません。
かわりにコーシー法で収束半径を求めれば、収束半径 0 と判り、
冪級数展開が収束しないことが解ります。
ちなみに、この f(x) を複素平面へ解析接続すると、
x = 0 は真性特異点となり、f(x) を複素関数として冪級数展開
することも不可能です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/11/27 19:21

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/27 18:02

正確には x=0 におけるテーラー展開です。

f(x)がテーラー展開 Pn(x)できるとは
∀ε>0,∃N, n>N → |f(x)-Pn(x)|<ε
ですが、今回は
　f⁽ⁿ⁾(0)=0

なので　|f(x)|<ε　と近似のしようがないのです。