デルタ関数の問題です

∫dp1 (p1^2/(2E1・2E2))δ(Ec-E1-E2)={p1^2/(2E1・E2)}(p1/E1+p1/E2)^(-1)
を示せ。ここに、E1=√(p1^2+m1^2), E2=√(p1^2+m2^2), Ecは初期エネルギーの和である。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/01 04:51

[1] 普通に定義されたδ関数において、不定積分は意味をなしません。

δ関数のナカミに関して-∞〜∞の範囲で定積分をしないと意味がない。そして、定積分なら（No.1でご指摘の通り）積分の結果に積分変数が残るのはおかしい。
　ってことは、ご質問の式の左辺に出てくるp1と右辺に出てくるp1とは別物でなくてはならない、ということです。というのはしばしば、
　　F(x) = ∫{-∞〜x} f(x) dx
なんてことを書く人がいる。これは正確には
　　F(x) = ∫{-∞～x} f(t) dt
という意味なのだけれども、別のものを同じxで表している手抜きな訳です。
　ご質問の場合もこのような手抜きの定積分なのかもしれない、と解釈するとどうか。

[2] それでも、積分範囲がおかしい。なぜなら、E1, E2はどっちも正の値なので、δ関数のナカミは-∞〜Ec（定数）の範囲しか動かない。定積分としても成立していません。

[3] そこに目をつぶって、
　　r = E1 + E2
に関する（ホントは-Ec〜∞の範囲なのだが）-∞〜∞の範囲の積分を変数変換した結果が、ご質問の式の左辺なのだ、と解釈してみる。つまり、本来なら変数変換する前の段階でδ関数の積分は処理しておかなくちゃいけないものを、「形式的」（ってか間違えて）処理しないで変数変換しちゃったと解釈する。そして、変数変換する前の、元の形を再現してみるとどうなるか。
　　dr/dp1 = p1 r /(E1E2)
（なので、ご質問の右辺の(p1/E1+p1/E2)^(-1) ってのはdp1/drのこと。）
だから左辺をJとすると
　　J = (1/4)∫(p1^2/(E1E2)) (dp1/dr) δ(Ec-r) dr
　　　= (1/4)∫(p1/r) δ(Ec-r) dr
ここで　∫drは-∞〜∞の定積分だとしたので、被積分関数f(r)=(p1/r)にr=Ecという条件を付けたのと同じ。すなわち
　　J = p1*/(4Ec)
であり、ただしp1*は
　　E1 + E2 = Ec
をp1について解いた解（のうちの一つ）。
　一方、ご質問の式の右辺をKとすると
　　K = {p1^2/(2E1・E2)}(p1/E1+p1/E2)^(-1)
　　　=(1/2) {p1^2/(E1E2)} E1E2/(p1(E1+E2))
　　　= p1/ (2(E1+E2))
ここでp1とはp1*の間違いで、E1,E2も
　　E1* = √(p1*^2 + m1^2)　
　　E2* = √(p1*^2 + m2^2)　
の間違いだとすると、
　　E1* + E2* = Ec
なので
　　K = p1*/ (2Ec)
だから
　　J = (1/2)K
ってことになるな。
　
[4]JとKが2倍だけ違っているのは、もしかしてご質問の式、写し間違えたんじゃないか？ということだとすると、一応辻褄は合った。
　結局、左辺は、もともと何でもない簡単な計算なのに変な処理をしてややこしくもの、ということだろうかね。右辺もちっとは整理しろよ、ってことで。

この回答へのお礼

辻褄があいましたね。ありがとうございました。

お礼日時：2021/12/01 09:04

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/02 01:16

#3さんの話の通りなら2倍のファクターは、δ関数の引数を0にするp1が正負で2つあるからなのでご質問の式通りになりそうですね。

この回答へのお礼

そうですね。すると、＃3さんの解説が尤もらしいと思います。

お礼日時：2021/12/02 18:11

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2021/11/30 23:47

じゃぁ貴方が書いてない事の中に式の意味を理解するのに必要な情報があるんでしょう。

この回答へのお礼

それがないのです。

お礼日時：2021/12/01 08:54

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2021/11/30 19:22

p1で積分したらp1は残りません。

この回答へのお礼

そうですよね。しかし、私の読んでいるテキストでは
∫(dp1(p1)^2dΩ)/((2π)^32E1・2E2)){(2π)δ(Ec-E1-E2)}
=∫dΩ{ (p1)^2/(16π^2E1・E2)}(p1/E1+p2/E2)^(-1)
となっています。どういうことでしょうか？

お礼日時：2021/11/30 21:49