重積分の問題です。

下の重積分の解き方を教えていただきたいです。(途中式なども書いていただけると嬉しいです。）

∬_D e^(y/x) dxdy , D:1≤x≤2,x≤y≤2x

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/02 09:20

No.1 です。

ああ、計算間違いしていましたね。

下記に訂正します。

∬_D e^(y/x) dxdy
= ∫[1→2]{∫[x→2x]e^(y/x)dy}dx
= ∫[1→2]{[(xe^(y/x)][x→2x]}dx
= ∫[1→2]{x(e^2 - e^1)}dx
= (e^2 - e)∫[1→2]xdx
= (e^2 - e)[(1/2)x^2|][1→2]
= (e^2 - e)[2 - (1/2)]
= (3/2)(e^2 - e)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/01 23:01

D の領域から、y の積分範囲は x の関数なので、まず y を「x の関数の範囲」で積分して、次に「x の範囲」で積分する。

∬_D e^(y/x) dxdy
= ∫[1→2]{∫[x→2x]e^(y/x)dy}dx
= ∫[1→2]{[(1/x)e^(y/x)][x→2x]}dx
= ∫[1→2]{(1/x)(e^2 - e^1)}dx
= (e^2 - e)∫[1→2](1/x)dx
= (e^2 - e)[log|x|][1→2]
= (e^2 - e)[log(2) - log(1)]
= (e^2 - e)log(2)