放物線y=x^2+aと円x^2+y^2=9が接するときのaの値の範囲を求めることについての質問です。

放物線y=x^2+aと円x^2+y^2=9が接するときのaの値の範囲を求めることについての質問です。
まず、この問題の解答では、条件より、1点又は2点で接する場合が考えられる。だからその２つで場合わけして考える。というのが方針でした。それで解答には、2点で接する場合の条件は放物線と円の２つの式を連立して出てきたy^2+y-a-9=0...①の判別式がD=0になればいいと書かれていました。確かに①でyの値が１つ出てきたらそれに対応するxの値が2つ出てきて2点で接するときの条件の１つになるとおもいました。しかし、そもそも①は放物線と円のy座標の交点を求める式であり、そこでyの値が１つのみでてきた場合それが意味するのは、一概に2点で接する場合といえないのではないかと思いました。aの値によっては２つの交点を持ち、そのときにもグラフの対称性からyの値は１つになるのではないかと思ったのです。この考察のどこか間違っているのか教えていただきたいです。また、1点で接する場合、(この問題の場合a=3、-3)はどうして①でyの値が１つ出てくることから求められないのですか？交点であるから、式から求められないのですか？解答は図形的に求めていて疑問に思いました。
過去にも似たような質問がありましたが、それらを読んでも理解できませんでしたのでぜひわかりやすく教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。

No.6 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/02/08 22:00

y=x²+a…Ⓐ　

x²+y²=9…Ⓑ　
y²+y-a-9=0…①

D=1+4(a+9)=4a+37
[1] D>0 , つまり、a>-37/4 のとき、解は2個

[2] D=0 , つまり、a=-37/4 のとき、解は1個（重解）
重解なので、①より、y=-1/2
y=-1/2 , a=-37/4 をⒶに代入
-1/2=x²-37/4
x²=35/4
x=± √35 /2
よって、(-√35 /2 , -1/2) , (√35 /2 , -1/2) は接点です。

[3] D<0 , つまり、a<-37/4 のとき、解なし

[3] の場合は共有点がないことは明らかですが、[1] の場合については共有点があるかどうかは分かりません。①を満たすｙが存在することは言えましたが、そのｙに対応するｘが存在しない場合は共有点はないということになります。
Ⓐより、x²=y-a…②
ｘが存在するためには、y-a≧0
y-a=0 のときは重解なので接点、y-a>0 のときは交点となります。
[1] の場合の解は2個ですが、それぞれの解がこの条件を満たすか満たさないかにより、共有点の個数は0個から4個まで変わります。

1点で接する場合については、[1] の特別な場合です。
②のｘが重解になるので、y-a=0
これを①に代入すると、y²-9=0 より、y=±3
(ⅰ) y=-3 のとき、
①より、9-3-a-9=0
a=-3
①に代入
y²+y+3-9=0
y²+y-6=0
(y+3)(y-2)=0
y=-3 , 2

y=-3 , a=-3 をⒶに代入
-3=x²-3
x²=0 より、x=0（重解）

y=2 , a=-3 をⒶに代入
2=x²-3
x²=5
x=±√5

よって、a=-3 のとき、
共有点は3個で、(0 , -3) は接点、(-√5 , 2) , (√5 , 2) は交点です。

(ⅱ) y=3 のとき、
①より、9+3-a-9=0
a=3
①に代入
y²+y-3-9=0
y²+y-12=0
(y+4)(y-3)=0
y=-4 , 3

y=3 , a=3 をⒶに代入
3=x²+3
x²=0 より、x=0（重解）

y=-4 , a=3 をⒶに代入
-4=x²+3
x²=-7
解なし

よって、a=3 のとき、
共有点は1個で、(0 , 3) は接点です。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/06 22:46

x軸右側で1回、円周を放物線が横切るなら①の判別式：D>0

が必要条件です
このとき　得られる２つのｙのうち1つが有効で
もう一つの有効でないyの解は、y=x^2+aへ代入したときｘの解が虚数解になるはずで
結局　有効なものをy=x^2+aへ代入へ代入したｘの解2つが　
左右両側での交点2か所のｘ座標になるはずです
ただＤを使うと、さらなる条件が必要ですから
はなから　①を解の公式などで解いて
yの範囲が１つは-3～+3になり　他方の解はこれから外れるようなaの値を割り出すことになるのかもしれません

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/06 22:07

２つの共有点でなくて交点？

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/06 17:39

間違いた

先に述べた理由で
連立方程式をまとめた式が
2次方程式なら
共有点１こは交点にならず接点になりますよ

この回答へのお礼

マスターコトーさん、ごめんなさい、回答を読んでさらに聞きたいことが出てきました。その前にですが、、、確かに連立方程式をまとめて2次方程式になったら、そのまとめた式から値がひとつだけ出てきたらそれはまとめる前の２つの図形が接することになりますね！そしてaの値によって(y軸左側だけみれば良い)yの値が２つ出てきて２つあった交点が近づいて１つなり、２つを結んでいた線が円の接線になることもイメージできました！それで質問なのですが、放物線と円が2つの交点を持つaの値の範囲を求めよという質問なら、これは図からではなく数式を使って求めに行った場合どのようになるのでしょうか？

お礼日時：2022/02/06 19:08

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/06 17:38

マスターコトー追記

先に述べた理由で
連立方程式をまとめた式が
2次方程式なら
共有点１こは交点にならず共有点になりますよ

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/02/06 17:11

D>0でyの解が2つあれば　

たとえば　ｙ軸より左側において放物線と円との交点は2つですが
この2つの共有点の距離を徐々に縮めることをイメージです
すると、どんどん距離は近づき　2交点を結ぶ線分と2交点の間の円弧はどんどんみぢかくなり　だんだん重なってきますよね
この2点がぴったり重なった時が
重解、D=0で
重解でないとき交点から交点までを結んでいた線分は
交点がぴったり重なった時には　重なった位置での放物線の接線になり
これはこの位置での円周の接線になっている
こんなメージがわくはずです
つまり重解なら必ず　2交点の距離が縮まって重なったという事なんで　
放物線と円弧は（y軸左側で）1点を共有し接線も共通なんでこれは交点でなく接点という事です！！

で、後半の質問
y-a=x^2という事なんで
yが一つ決まると　xが2つ決まるのが大半ですよね！
ｙが1つ決まって実数xが一つ決まるのはy=aの時だけ限定なんで
さらに　y=aの時という限定条件が加わらないと①のy解が1個でもxは1つにならないんです
つまり、y=aなのかそれ以外なのかで　yの値に対するｘの個数が変わるので場合若えです