高校程度の二次関数

高校程度の二次関数

息子に「どうやんのさ？」と聞かれても答えられなかったので、どなたかお願いします。

放物線A：y=ax二乗-2x+b
放物線B:y=2x二乗-4x+1

の頂点が合致する a,bを求めよ

という問題です。
可能であれば詳しい解説付きでお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： aquatarku5 回答日時： 2010/05/05 20:53

A,Bの方程式を平方完成し頂点の座標を求める。

A:y=ax^2-2x+b
=a(x^2-2x/a)+b
=a(x^2-2x/a+1/a^2-1/a^2)+b
=a(x-1/a)^2+(b-1/a)
　　頂点（1/a, (b-1/a))　（但しa≠0)

B:y=2x^2-4x+1
=2(x^2-2x+1-1)+1
=2(x-1)^2-1
　　頂点　(1,-1)

以上から、
1/a=1
b-1/a=-1

これを解いて、
a=1
b=0

この回答へのお礼

今から息子に説明させていただきます。

丁寧な説明ありがとうございますた。

お礼日時：2010/05/05 22:14

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/05 21:03

よくあることだが、No.2 のほうが計算間違い。

この回答へのお礼

計算間違いの例も示していただき有り難うございます。
わかりやすかったです。

お礼日時：2010/05/05 22:13

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/05 21:00

放物線 y = px^2 + qx + r の頂点は、右辺を平方完成して、

y = p{ x^2 + (q/p)x } + r
　= p{ x^2 + 2(q/2p)x + (q/2p)^2 - (q/2p)^2 } + r
　= p{ x + q/(2p) }^2 - (q^2)/(4p) + r と変形すれば、
頂点 ( -q/(2p), -(q^2)/(4p) + r ) であることが判ります。

A, B を共にこの形に変形して、頂点の座標を比較すれば、
a, b に関する等式が二つ得られ、a, b の値が求まります。

A : y = a(x + 1/a)^2 - 1/a + b
B : y = 2(x - 1)^2 - 1
の頂点を比較して、
-1/a = 1,
-1/a + b = -1.
連立方程式を解いて、
a = -1,
b = -2.