関数と図形の融合問題

まず、関数y=-x^2＋1とx軸とで囲まれた領域において、長方形ABCDを作ります。（ｘ軸より上に）　このとき、長方形ABCDの面積が最大になるものを求めたいのですが・・・
どうやって求めたら良いのでしょう？分からず困ってます。どなたかお願いします！あっ、ちなみに頂点Aの座標を（x,0)として考えます。

No.1 回答者： newtype 回答日時： 2001/08/26 13:42

ｘじゃまぎらわしいので、いったんｔとおきあとでｘに戻すことにする。

Ａ（ｔ，０）とした場合、
Ｂ（ｔ，－ｔ^2＋１），Ｃ（－ｔ，０），Ｄ（－ｔ，－ｔ^2＋１）で最大である。

面積をｓ（ｔ）とすると、
ｓ（ｔ）＝２ｔ（１－ｔ^2）である。

ｓ’（ｔ）＝２（１－ｔ^2）＋２ｔ（－２ｔ）
＝２（１－５ｔ^2）

よってｔ＝１／√５のとき、maxs(t)=s(1/√5)=８√５／２５
ｔ＝ｘにかきなおして終わり。

No.2 回答者： newtype 回答日時： 2001/08/26 13:48

間違えました。

ｓ’（ｔ）＝２（１－３ｔ^２）です。
よってｔ＝１／√３のとき、maxs(t)=s(1/√3)=４√３／９
ｔ＝ｘにかきなおして終わり。
今度は大丈夫。

No.3 回答者： Umada 回答日時： 2001/08/26 13:58

頂点Aの座標ですが、(a,0)とおくことにさせてください。

(xとおくと、変数と紛らわしいため)
また0≦aに限定しても一般性を失いませんので、簡単のため0≦aとします。
また自動的に　0≦a≦1　の制約がついていることにも留意ください。

問題は題意の長方形の面積(S(a)とおくことにします)をaで表し、aを変化させた時の面積Sの極大を求めることに尽きます。

頂点Aから左回りにB, C, Dと頂点に名前をつけることにします。このときB, C, Dの座標はどうなるでしょうか?
Bはx軸上の点Aから、x軸に垂直な線を引き、題意の放物線とぶつかった点にあるはずです。
すなわちBの頂点は(a, -a^2+1)です。
Cはどうでしょうか?　Bからx軸負方向に真直ぐ線を伸ばし、題意の放物線とぶつかった場所にあるはずです。
DはさらにCから、x軸に下ろした垂線の足になっているはずです。
C, Dの座標は自力で求めてみてください。

さてこのときの長方形の面積ですが、言うまでもなくADの長さとBCの長さを掛けたものです。
従って　S(a)=2a×(-a^2+1)　と表されます。aの3次関数ですね。
極大に注意しながら与えられた区間(0≦a≦1)でS(a)の最大を求めます。
S'(a)を作って=0とおくと、この関数はa=1/√3で極値を持つことが分かります。
前後の符号の変化を調べると、ここでは極大ですね。

ただし極値は一般に、必ずしもその区間での最大値や最小値とは限らないことに注意してください。
(∵区間の端で最大をとるようなことがあり得る)
慌てずに吟味をする必要があります。
そのためには増減表を書いて調べます。増減表を書くと、題意の区間では

a　　　0　　1/√3　　1
S'(a)　2　+　　0　-　-4
S(a)　0　増　極大　減　0　

となっているはずですので、極大＝最大として良いことが分かります。

解答の総ては書きませんでしたので、抜けている部分はご自分で鉛筆を動かしながら考えてみてください。
また計算間違いをしているかも知れませんので、併せてご自分で確認ください。

この回答への補足

y＝ｘ^4－１の場合でやると、答えは、Ｓ（ａ）＝(-8×5＾3/4)/25 とでてきますが、この場合これが、最大なのでしょうか？どうでしょうか？（間違ってたらごめんなさい）

補足日時：2001/08/31 01:52

No.4 回答者： Umada 回答日時： 2001/08/31 22:24

まず、私の前回の回答の訂正から。

長方形ABCDの面積は、辺AB×ACですよね。「ADの長さとBCの長さを掛けたものです」なんて書きましたが、とんでもなくお恥ずかしい間違いでした。

さてy=x^4-1に接する長方形の方ですが、解き方は同様です。
しかしながら(-8×5＾3/4)/25 というのは、一見して誤りだと分かります。面積が負になることはありませんから。

では同様にして解いてみます。
頂点Aの座標を(a,0)とおきます。Bは(a,a^4-1)、Cは(-a,a^4-1)、Dは(-a,0)です。
このときの辺ABの長さですが、a^4-1ではありません。
辺の長さですから厳密には絶対値記号を使って書く必要があり、その値は|a^4-1|になります。
題意のaの範囲は0≦a≦1 (*1)ですから絶対値記号の中は常に負です。
従って絶対値符号は　|a^4-1|=1-a^4　として外せばよいことになります。
これに辺ACの長さを掛けて
　S(a)=2a(1-a^4)
を得ます。(aの範囲は0≦a≦1としましたので、|a|=aとして処理して良いわけです)

S'(a)を作って=0とおくと　a=±(1/5)^(1/4)　を得ます。この場合虚根は考えに入れなくて良く、また負の根はaの変域に合致しませんから外します。
同様に増減表を作って調べてみてください。
a=(1/5)^(1/4)でS(a)は極大となり、また同時に、区間0≦a≦1での最大となっていることが分かるはずです。

従って回答は
「a=(1/5)^(1/4)　(4乗根5分の1)の時に
最大値　(8/5)×(1/5)^(1/4)　をとる」
ということになります。
これは(8×5＾3/4)/25と同じ値ですから、hariganeさんは考え方はほぼマスターされていて、符号の正負だけ間違えていたということになりますね。おそらくは辺ABの長さの表式のところで正負を間違われたのでしょう。

納得いきました?

No.5 回答者： Umada 回答日時： 2001/09/01 10:19

またまた間違えていました。

長方形ABCDの面積はAB×ADですよね。すみません。
回答No.4の中ほどの「これに辺ACの長さをかけて」というところも、
「これに辺ADの長さをかけて」と読み替えてください。