二次関数の決定 接線

「各実数 t に対して、方程式 y = ( 2t - 3 ) x - t^2 で表される直線 Ｌt を考える。
放物線 y = ax^2 + bx + c に全ての直線 Lt が接するとき、 a , b, c の値を求めよ。」

この問題が全く分かりません。
解法・解答をご教授願います。

No.1 ベストアンサー 回答者： bibendumbibendum 回答日時： 2011/10/20 23:54

y = ( 2t - 3 ) x - t^2

y = ax^2 + bx + c
が接するということは、２つの連立方程式が重解をもつということ。
重解を持つ条件は判別式が０
判別式を計算するとtについての２次式が得られる。
任意のtについて０なのだから
２次の係数、１次の係数、定数がすべて０でなければならない。
これを計算すると
　a=1,b=-3,c=0

No.3 回答者： momordica 回答日時： 2011/10/21 20:13

Ltの式をtについて整理すると、

　t^2-2xt+3x+y=0　　…(A)
となり、これはｔの２次方程式と見ることができます。
座標平面上の点(x, y)が与えられたとき、Ltがその点を通るとすると、その時のtの値は、
この２次方程式を解くことで求めることができます。
ここで、もし(x, y) が放物線 y=ax^2+bx+c 上の点であるなら、この点を通るようなLt、すなわち
この放物線の接線は１本しか引けませんから、(A)はただ一つの実数解をもつことになります。
したがって、(A)の判別式をDとすると、
　D/4=x^2-3x-y=0
∴　y=x^2-3x
よって、(x, y) は放物線　y=x^2-3x　上の点であることが分かります。
また、y=x^2-3x を満たす任意の点(x, y) について、(A)を満たすtがただ一つ存在しますから、
この放物線は、求める放物線 y=ax^2+bx+c であると言えます。
よって、係数を比較して、
　a=1, b=-3, c=0

多分、教科書的な解答は＃１さんの回答のようなやり方ではないかと思いますが、
計算で答えを求めるだけなら、上の方法が恐らく最速です。

♯２さんの２つ目の回答のように微分を用いる方法もアリなのですが、接点が x=t のときだと
している理由がちょっと私にはわかりません。
それが最初から分かっているなら、判別式だの微分だの持ち出さなくても、与式のtにxを
代入するだけで求める放物線の式が得られてしまうんですが…

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/10/21 13:46

恒等式の問題である事は直ぐわかるが、方法はいろいろある。

(解法-1)
y = ( 2t - 3 ) x - t^2が放物線の接線だから、それは点(t、at＾2＋bt＋c)における接線。
よって、接点か゛x＝t であるから(つまり、重解)　 ax^2 + bx + c -{( 2t - 3 ) x - t^2}＝a(x-t)＾2。
これを整理すると、ax^2 + (b-2t＋3)x + (c ＋ t^2)＝ax＾2-2atx＋at^2となる。
両辺の係数を比較すると　b-2t＋3＝-2at‥‥(1)、c ＋ t^2＝at^2‥‥(2)。
これが任意のtについて成立するから、(2)より　a＝1、c＝0　これを(1)に代入すると、任意のtについて成立するからb＝-3.

(解法-2)
微分を習ってるなら。
y = ( 2t - 3 ) x - t^2が放物線の接線だから、それは点(t、at＾2＋bt＋c)における接線。
y ´= 2ax + b　だから、接線は　y = ( 2at+b ) x +c- at^2。
これが　y = ( 2t - 3 ) x - t^2　に一致するから、2at+b ＝2t - 3、c- at^2＝- t^2。
これが任意のtについて成立するから‥‥‥　結果は同じ。