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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
y = ( 2t - 3 ) x - t^2
y = ax^2 + bx + c
が接するということは、2つの連立方程式が重解をもつということ。
重解を持つ条件は判別式が0
判別式を計算するとtについての2次式が得られる。
任意のtについて0なのだから
2次の係数、1次の係数、定数がすべて0でなければならない。
これを計算すると
a=1,b=-3,c=0
No.3
- 回答日時:
Ltの式をtについて整理すると、
t^2-2xt+3x+y=0 …(A)
となり、これはtの2次方程式と見ることができます。
座標平面上の点(x, y)が与えられたとき、Ltがその点を通るとすると、その時のtの値は、
この2次方程式を解くことで求めることができます。
ここで、もし(x, y) が放物線 y=ax^2+bx+c 上の点であるなら、この点を通るようなLt、すなわち
この放物線の接線は1本しか引けませんから、(A)はただ一つの実数解をもつことになります。
したがって、(A)の判別式をDとすると、
D/4=x^2-3x-y=0
∴ y=x^2-3x
よって、(x, y) は放物線 y=x^2-3x 上の点であることが分かります。
また、y=x^2-3x を満たす任意の点(x, y) について、(A)を満たすtがただ一つ存在しますから、
この放物線は、求める放物線 y=ax^2+bx+c であると言えます。
よって、係数を比較して、
a=1, b=-3, c=0
多分、教科書的な解答は#1さんの回答のようなやり方ではないかと思いますが、
計算で答えを求めるだけなら、上の方法が恐らく最速です。
♯2さんの2つ目の回答のように微分を用いる方法もアリなのですが、接点が x=t のときだと
している理由がちょっと私にはわかりません。
それが最初から分かっているなら、判別式だの微分だの持ち出さなくても、与式のtにxを
代入するだけで求める放物線の式が得られてしまうんですが…
No.2
- 回答日時:
恒等式の問題である事は直ぐわかるが、方法はいろいろある。
(解法-1)
y = ( 2t - 3 ) x - t^2が放物線の接線だから、それは点(t、at^2+bt+c)における接線。
よって、接点か゛x=t であるから(つまり、重解) ax^2 + bx + c -{( 2t - 3 ) x - t^2}=a(x-t)^2。
これを整理すると、ax^2 + (b-2t+3)x + (c + t^2)=ax^2-2atx+at^2となる。
両辺の係数を比較すると b-2t+3=-2at‥‥(1)、c + t^2=at^2‥‥(2)。
これが任意のtについて成立するから、(2)より a=1、c=0 これを(1)に代入すると、任意のtについて成立するからb=-3.
(解法-2)
微分を習ってるなら。
y = ( 2t - 3 ) x - t^2が放物線の接線だから、それは点(t、at^2+bt+c)における接線。
y ´= 2ax + b だから、接線は y = ( 2at+b ) x +c- at^2。
これが y = ( 2t - 3 ) x - t^2 に一致するから、2at+b =2t - 3、c- at^2=- t^2。
これが任意のtについて成立するから‥‥‥ 結果は同じ。
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