定数の値の範囲

次の条件を満たすような定数mの値の範囲を求めよ。
⑴y=2mx^2+x-1のグラフが常にX軸の下側にある。
⑵2x^2-mx+m+6>0が常に成り立つ。

この問題の解き方教えてください

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2021/08/22 21:06

2次関数のグラフは 習いましたね。

それと 判別式も 習った筈ですが。
(1) 上の凸な放物線になり m<0 で 判別式<0 の共通範囲。
　　判別式=1+8m<0 から m<-1/8, m<0 と合わせて m<-1/8 。

(2) x² の係数が 正なので、下に凸な放物線。
　　従って 判別式<0 だけが 答えの条件になります。
　　判別式=m²-8(m+6)=m²-8m-48=(m+4)(m-12)<0 より、
　　-4<m<12 。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/22 19:02

(1) 軸上でy<0、m≦0 で解く。

(2) 軸上で式>0 で解く。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/22 18:25

二次関数のグラフの概形は、「平方完成」形を作って考えます。

(1) m≠0 のとき
　y = 2mx^2 + x - 1
　　= 2m{x^2 + [1/(2m)]x} - 1
　　= 2m{x + 1/(4m)}^2 - 1/(8m) - 1
m=0 のとき
　y = x - 1
従って
・m>0 なら下に凸、m<0 なら上に凸の放物線。
　m=0 なら直線。
・m≠0 のとき、放物線の頂点は (-1/(4m), -1/(8m) - 1)

これから分かるのは
・m=0 で　y = x - 1　の直線であれば、常にX軸の下側にあることはあり得ない。
　従って m≠0 である。
・m>0 なら、常にX軸の下側にあることはあり得ない。
・m<0 で、頂点の y 座標が負であれば、常にX軸の下側にある。

よって、
　m<0
かつ
　-1/(8m) - 1 < 0
→　-1 < 1/(8m)
m<0 なので、両辺に 8m をかけると不等号の向きが変わって
　-8m > 1
→　m < -1/8

この共通範囲から
　m < -1/8

(2) y = 2x^2 - mx + m + 6
のグラフが、常に x 軸よりも上にあればよい。

y = 2x^2 - mx + m + 6
　= 2[x^2 - (m/2)x] + m + 6
　= 2(x - m/4)^2 - (1/8)m^2 + m + 6

従って、このグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (m/4, -(1/8)m^2 + m + 6)

このグラフが常に x 軸よりも上にあるためには
　-(1/8)m^2 + m + 6 > 0
→　m^2 - 8m - 48 < 0
→　(m - 12)(m + 4) < 0
従って
　-4 < m < 12