数学の本質

私は今高1です。私は公式を覚えて問題を解くという受験数学には面白みが感じられません。

しかし数学の本質をついて学ぶ数学は非常に面白く感じます。問題を覚えて解く数学でなく、考えて解く数学です。

そこで、公式を使え　ではなく　なぜその公式があるのか、その公式（数式）は何を意味するのか　という数学の本質にふれた本があれば教えてください。

高校レベルの本質が解説されている本であればよいです。（もちろん高校レベルを離脱しても高校数学を含み、高校生に分かる内容の本であればよいです。）
分野別でもかまいません。（なお今まで読んできた受験参考書にはそのような本は見当たりませんでした。）

No.8 ベストアンサー 回答者： Naoki_M 回答日時： 2005/03/27 21:40

是非おすすめしたい本があったのですが、残念ながら絶版になっていました。

秋山仁著「発見的教授法による数学シリーズ」です。参考URLで復刊に向けた動きがあるようですが、なかなか復刊されません。

東京出版の「大学への数学」は私もおすすめします。例えば、「解法の探求・確率」には、教科書よりもはるかに詳しい解説が載っていますし、公式を知っているだけでは解けない問題も多く載っています。私も、＃６さんと同じように、問題は理解を助けるためのものだと思います。私自身は、説明を読んで分からなかったことでも、実際に手を動かして計算して「こういうことをいっていたんだ」と初めてわかる、ということがよくありました。だまされたと思って試してみてください。

高校レベルの数学の本では、次の本もおすすめです。大学の範囲の内容も少し載っています。
・吉田武著「オイラーの贈物」（ちくま学芸文庫）
・吉田武著「虚数の情緒」（東海大学出版会）
同じ著者の本ですが、本の性質は違います。私が説明するよりも、実物を見た方がよいと思うので説明は省略します。

本質を理解するためには、少なくとも定義だけはきちんと覚えなければなりません。例えば、高校数学では三角関数や指数関数、対数関数など、新しく登場する概念が多いのですが、定義を覚えていないとわけがわからなくなります。定義を覚えるためには、練習問題を解くのがよいと思います。教科書に載っているような練習問題はつまらないのですが、石川英輔著「数学は嫌いです！」（講談社文庫）という本には、日常に出てくるような具体例が使われていて、面白くてわかりやすかったです。

数学の学習では、公式集が手もとにあると、役立つと思います。教科書としてではなく事典として、わからないことを調べるときに使うとよいです。
・「モノグラフ　公式集」（科学振興社）
・「数学の小事典」（岩波ジュニア新書）

受験数学とは関係ありませんが、「なぜその公式があるのか」については、数学の歴史を詳しく調べてみるのもよいと思います。ハヤカワ文庫の＜数理を愉しむ＞シリーズに、E.T.ベル著「数学をつくった人びと」「数学は科学の女王にして奴隷」などの良書があります。

参考URL：http://www.fukkan.com/vote.php3?no=3629

この回答への補足

ご返答ありがとうございます。
秋山仁先生は世界一受けたい授業で見たことがあります。なかなか面白い授業をなさっていたので覚えています。絶版とは非常に残念です。
＞「オイラーの贈物」「虚数の情緒」について、私が説明するよりも、実物を見た方がよいと思うので説明は省略します。
実物を見れる状況じゃないのでできれば説明をお願いします。
公式集は公式を理解してから考えたいと思います。
歴史から数学を学ぶと言う視点はなかなか面白いと思います。必然的にその必要性に向かうだろうと思います。

補足日時：2005/03/28 01:19

No.9 回答者： tenro 回答日時： 2005/03/27 23:45

受験数学ではなく数学の本来のおもしろさに触れたいのであれば

　遠山啓著「数学入門上・下」（岩波新書）
　遠山啓著「無限と連続-現代数学の展望」（岩波新書）
がお勧めです。さらに、数3を勉強したら
　高木貞治著「解析概論」（岩波書店）
の前半あたりを読まれると良いと思います。同じ著者の「初等整数論講義」（共立出版）の１章～３章もお勧めします。

参考URL：http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4004160 …

この回答への補足

ご返答ありがとうございます。数学入門は呼んだことがありますが、文体が非常に難しくて難解でした。
残りの本も大学レベルの難しそうな本ですが手に取れる機会があれば取ってみます。

補足日時：2005/03/28 01:20

No.7 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/03/27 11:30

No.3です。

「大学への数学」、出版社が違うので誤解です。
下で薦められているのは東京出版のものですが、こちらは研文書院、藤田宏　編・著のものです。いわゆる黒い本ですので念のため。

この回答への補足

ご返答ありがとうございます。
同じ名前の本が二つありました。是非みてみたいと思います。

補足日時：2005/03/27 11:40

No.6 回答者： springside 回答日時： 2005/03/26 23:22

No.5です。

誤解されている気がします。

>>貴方は問題→本質として大学への数学を薦めていますが

逆です。私は、「本質→問題」のための本として薦めています。前発言で言う「例題」は、「本質」を理解し身につけるための単なる道具のつもりです。
私は、月刊誌「大学への数学」は問題集だとは全く思っておらず、「本質を学び、理解するための参考書である。その理解を助けるための読者への親切として問題が付随している。」と思っているのですが、その点に質問者さんとズレがあるのかも知れません。

>>本質から理解すれば、本質→レベルの高い問題が可能

そのとおりなので、「本質から理解」するための本として薦めています。

網羅性についてですが、１年サイクルの月刊誌ですから、１年分つまり４月～３月の１２冊集めれば、高校数学は網羅されていると思うのですが、何か不足を感じますか。

質問者さんは、高い志をお持ちのようなので、大学１年生向けの簡単な教科書（「解析学（微積分）」と「線形代数」に関するもののうち、初歩的なもの）を見てみると良いのかもしれません。

それから、
>>私は公式を覚えて問題を解くという受験数学
と書かれていますが、受験数学は公式を覚えて問題を解くというものでは全くありません。公式を知っていることは当然の前提ですが、それだけでは、例えば東大入試の数学は全然解けません。むしろ、数学の本質に迫る「知恵」が要求される場面が多いです。

この回答への補足

ご返答ありがとうございます。
貴方の考えは分かりました。

網羅性というのはちょっとまずかったかもしれません。（貴方も私も月刊誌「大学への数学」を前提に話していたみたいですが）網羅性というよりは、学校で学ぶようには学べないと言うことです。１か月分ではおそらく三角関数のすべてが伝わったか、というと伝わらないと思います。（もちろん一年分なら話は別ですけど。）内容が数か月分に散らばっていると思います。（１対１対応の演習なら１２３ＡＢＣ別なので希望に添えそうです。ありがとうございました。）

大学の教科書は上手に調べることができませんでした。もし知っているならば調べ方や、具体的に書籍名をお願いします。

東大など難関大の入試問題を解くには本質的な理解が必要だと言うのはおっしゃるとおりです。しかし天才はいます。同じ授業を受けても、教科書を読んでも自然に本質的な部分を捉えているのかもしれません。もちろんその人たちの努力も否定しませんが。

普通に本質を捉えれる人と、本質を追い求めなければならない人、私は後者ですがそのような人のために分かりやすく説明されているものを探すと言う点での質問でした。

補足日時：2005/03/27 02:31

No.5 回答者： springside 回答日時： 2005/03/26 19:03

No.2です。

>>私にはレベルが高すぎます。

失礼な言い方になるかもしれませんが、

>>考えて解く数学
>>数学の本質にふれた本
>>高校レベルの本質が解説されている本

ということを知りたいのであれば、月刊誌大学への数学や増刊号程度のレベルの内容がすんなり理解できるようにならないと、ちょっと辛いと思います。

確かに問題がメインではあるのですが、数学の本質を理解できるような解説があった上での例題ですので、その方がわかりやすいと思います。（定義や定理がひたすら書いてあるのを順に理解していくのは大変です。大学の教科書でも、定義→定理→例題となっているのが多いと思います。）

この回答への補足

私は本質の理解は大学への数学の問題のようなを解くような概念を手に入れることだと思います。
貴方は　問題→本質として大学への数学を薦めていますが　私は　本質→問題　としてとらえていました。
公式だけを使っていけば、確かに　定義→定理→例題　のようになるかもしれませんが、本質から理解すれば、本質→レベルの高い問題　が可能だと思います。そのときの問題集としては私の知る限りでは、おっしゃるとおり大学への数学が一番だと思います。
やはり短所としては今習っていることでは半分もできないということと網羅性が低かったと思います。
どうでしょうか。

補足日時：2005/03/26 21:54

No.4 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2005/03/26 06:55

本の紹介でなくてごめんなさい

私の考えです
先ず、数学とはどういう学問かについて
(目的)
　1 事物の構造を理解することを目的とする
(手段・方法)
　2 公理を設定する
　3 明確な推論規則を用いて、何らかの結論を導く
　4 導かれた結論を解釈・理解する
原則的には、数学が扱おうとする事物に
制限はないと思います
ですが、数学的に理解できない事物
は沢山あると思います

関連性のある質問として、私が質問している
「数学の体系」も参考にして下さい

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1280086

この回答への補足

大学内容っぽいのでよく分かりませんが、たまに聴くような言葉です。
中学生に高校では微積分と言う最高に難しいものがあるよと言うようなものです。（高１なので私もまだ習っていませんが）
高校内容まで掘り下げて関連している資料などがあれば見てみたです。

補足日時：2005/03/26 21:39

No.3 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/03/26 06:20

研文書院「大学への数学」シリーズ。

高度だけど説明が明解。
文英堂「シグマベスト・理解しやすい」シリーズはずっとやさしいが上記書と編者が同じ。
あとはSEG出版「ＳＥＧ数学シリーズ」。高度でしかも分野別なので高価だが、高校の範囲にとらわれない深い説明。

この回答への補足

大学への数学に対するコメントは下のとうりです。シグマベストは見たことはあると思いますがどんな本かちょっと忘れました。
ＳＥＧのコンセプトはすばらしく、私の理想です。（残念ながら通えないのですが）ＳＥＧ数学シリーズはジュンク堂で探してみたのですがありませんでした。私は今分野別受験数学の理論と言う本を持っているのですが、（もとＳＥＧの数学受験教科書）もし違いがあれば教えてください。
分野別受験数学の理論は本質をついた部分もあるのですが、ところどころ内容が抜けていたりするので使い辛く感じます。

補足日時：2005/03/26 21:23

No.2 回答者： springside 回答日時： 2005/03/25 22:21

そのようなご関心ならば、月刊誌「大学への数学」（東京出版）と、その増刊（解法の探求、１対１対応の演習など）が非常にいいと思います。

（受験用にもなるし）

この回答への補足

大学への数学は問題としては非常に本質的な問題が多くすばらしい本ですが、問題がメインであって、なお私にはレベルが高すぎます。

補足日時：2005/03/26 00:10

No.1 回答者： PecoPlus 回答日時： 2005/03/25 21:25

　こんにちは。

　私が今、読んでいる本を紹介します。

「直観で分かる数学」
著者　畑村洋太郎

　テストに対する実力を付けるというより、数学に関する考え方や、そもそもどうしてこのような公式が生まれたのかと言ったことが書かれています。

　読みやすく、結構おもしろいです。
　とくに、いかに数学教師の教え方が間違っているかといったことが書かれているところは、なるほどなと思いました。

　この本の読者対象に

・数学は苦手だがどこか気になっている人
・数学を教わり始めたばかりの高校生
・数学を使って研究しようとしている大学生
・一度数学を勉強し、実社会で働いている人
・数学や実技を教えている学校の先生
・これまでの数学の本では飽き足らない人
・「なんだ、そんなことだったのか！」と溜飲を下げたい人

　と、あるので、ピッタリではないでしょうか？

この回答への補足

非常に評価されている本だったので、以前に読んだことがありますが、何を説明したいかわからない本でした。

一からというよりは、今つまっている人の分からないところをはずすような本の気がします。そのため分かりにくいところの説明しかなかったような気がします。

網羅性がとても低く問題をとくときに横における本ではありませんでした。

補足日時：2005/03/25 21:37