この問題教えて欲しいです。 複素数の極表示 z＝a＋ib＝re^iθ z*＝a−ib＝re^−iθ

この問題教えて欲しいです。
複素数の極表示
z＝a＋ib＝re^iθ
z*＝a−ib＝re^−iθ

1.a.bをr,θであらわせ。逆にr,θをa,bであらわせ
2.r＝√（zz*）とかけることを示せ（*は共役複素数をとる操作）
3.以下のA（ω）の実部と虚部を求めよ。また振幅Aと位相の遅れtanδを求めよ。

A（ω）＝f0/−ω^2＋i・2γω＋ω0^2

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/01 13:16

re^(iθ) = rcosθ + irsinθ(オイラーの公式)

知っていればほぼ 1, 2 は瞬殺。

１の後半は
θ = atan(b/a)
r = √(a^2+b^2)

3 は
>A（ω）＝f0/−ω^2＋i・2γω＋ω0^2
が数式として変。多分

A（ω）＝f0/(−ω^2＋i・2γω＋ω0^2)

だろうから、

A=|A(ω)|=f0/√(ω0^2−ω^2)^2 + 4(γω)^2
A(ω)=f0(−ω^2-i・2γω＋ω0^2)/{(−ω^2＋i・2γω＋ω0^2)(−ω^2-i・2γω＋ω0^2)}
= {f0(ω0^2−ω^2) - i・2f0γω }/{(ω0^2−ω^2)^2 + 4(γω)^2}

tanδは計算してみて。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/01 05:59

1

a+ib=re^(iθ)=r(cosθ+isinθ)
a+ib=r(cosθ+isinθ)=rcosθ+irsinθ
a+ib=rcosθ+irsinθ

a=rcosθ
b=rsinθ

a^2+b^2=(rcosθ)^2+(rsinθ)^2=r^2
a^2+b^2=r^2
↓両辺の√をとると
√(a^2+b^2)=r
r=√(a^2+b^2)

b=rsinθ
を
a=rcosθ
で割ると
b/a=sinθ/cosθ=tanθ
b/a=tanθ
tanθ=b/a
θ=arctan(b/a)

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/01 00:43

3番

分母に共役複素数を掛け算
その際2番目が役立ちそう
振幅はこの式の大きさの√2倍
位相はまあ、オイラーの公式で

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/01 00:38

一番

オイラーの公式で検索!
2番目
普通に2つの複素数の積を計算してルートする