なぜres(f(z),a)は1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n

なぜres(f(z),a)は1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)と置けるのでしょうか？

留数の定義だからとかではなく、具体的な計算による理由が知りたいです。

質問者からの補足コメント

• ありものがたりさんありがとうございます。
  
  「f(z) を z = a 中心にローラン展開したときの (z-a)^-1 項の係数。
  
  (z-a)^n f(z) が z = a 中心にテイラー展開できて、
  留数は (z-a)^(n-1) 項の係数になる。
  これを z で n-1 回微分すれば、定数項は (n-1)!・(留数) となる。
  z→a とすればテイラー展開から定数項が取り出せるので、
  (n-1)! で割れば終わり。」
  の「(z-a)^-1 項の係数」が留数だとはわかりました。
  しきし、その後の
  「これを z で n-1 回微分すれば、定数項は (n-1)!・(留数) となる。
  z→a とすればテイラー展開から定数項が取り出せるので、
  (n-1)! で割れば終わり。」は何を表しているのでしょうか？
  
  どうか教えてください。

    補足日時：2022/07/13 14:59

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/10 19:16

n ってなに?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/10 20:40

Res[f(z),a] = 1/(n-1)! lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z) は、

留数の定義にはせんじゃろ？
これを定義に採用してる文献は見たことない。

通常、 f(z) の n 位の極 z = a における留数の定義は、
f(z) を z = a 中心にローラン展開したときの (z-a)^-1 項の係数。

(z-a)^n f(z) が z = a 中心にテイラー展開できて、
留数は (z-a)^(n-1) 項の係数になる。
これを z で n-1 回微分すれば、定数項は (n-1)!・(留数) となる。
z→a とすればテイラー展開から定数項が取り出せるので、
(n-1)! で割れば終わり。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

Res[f(z),a] = 1/(n-1)! lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z) は間違いななでしょうか？

多分「通常、 f(z) の n 位の極 z = a における留数の定義は、
f(z) を z = a 中心にローラン展開したときの (z-a)^-1 項の係数。

(z-a)^n f(z) が z = a 中心にテイラー展開できて、
留数は (z-a)^(n-1) 項の係数になる。
これを z で n-1 回微分すれば、定数項は (n-1)!・(留数) となる。
z→a とすればテイラー展開から定数項が取り出せるので、
(n-1)! で割れば終わり。」の部分は
Res[f(z),a] = 1/(n-1)! lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z)に関する記述だと思うのですが、どうか「」の記述の部分を具体的な計算で説明して頂けないでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/07/11 16:51

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/11 12:32

>留数の定義だからとかではなく

だから→から

複素関数論の教科書に導出は必ず載ってはずだけど
教科書は見ないの？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/13 15:50

←補足

何を表すもなにも、言葉の意味どおり。

f(z) = Σ[k=-n→∞] c(k)(z - a)^k のときの c(-1) を求めたい。
(z-a)^n f(z) = Σ[k=-n→∞] c(k)(z - a)^(k+n) を n-1 回微分すると、
(d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z) = Σ[k=-1→∞] c(k){ (k+n)(k+n-1)(k+n-2)…(k+2) }(z - a)^(k+1).
ここで z→a とすると、右辺で k ≧ 0 の項は皆 →0 となるので、
lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z) = c(-1){ (-1+n)(-1+n-1)(-1+n-2)…(-1+2) }
= c(-1){ (n-1)！ }.
以上より、 c(-1) = { 1/(n-1)！ } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z).

この回答へのお礼

ありがとうございます。

c(-1) = { 1/(n-1)！ } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z).から、どうやって、

c(n) = { 1/(n-1)！ } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z).となるのでしょうか？

お礼日時：2022/07/16 18:01

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/16 20:44

＞ c(-1) = { 1/(n-1)！ } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z).から、どうやって、

＞ c(n) = { 1/(n-1)！ } lim[z→a] (d/dz)^(n-1) (z-a)^n f(z).となるのでしょうか？

下の式にはなりません。
なったら c(n) = c(-1) だって話になって、そんなハズはないし、
そもそも、Res[f(x),a] の値が c(-1) だから求めているんであって、
c(n) を求める理由も無い。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2022/07/23 21:04