No.3ベストアンサー
- 回答日時:
∫_{0~2π}{1/(13-5sinθ)}dθ
z=e^(iθ)
とすると
|z|=1
sinθ=(z-1/z)/(2i)=(z^2-1)/(2iz)
dz=ie^(iθ)dθ=izdθ
{1/(iz)}dz=dθ
13-5sinθ
=13-5(z^2-1)/(2iz)
=(5+26iz-5z^2)/(2iz)
=(5i-z)(5z-i)/(2iz)
1/(13-5sinθ)
=2iz/{(5i-z)(5z-i)}
∴
∫_{0~2π}{1/(13-5sinθ)}dθ
=∫_{|z|=1}(2/{(5i-z)(5z-i)})dz
被積分関数の分母(5i-z)(5z-i)を0にするzは 5i と i/5 である
したがって、被積分関数の特異点で|z|<1にあるものは
i/5
だけで、これは1位の極である
また
Res[2/{(5i-z)(5z-i)},i/5]
=lim_{z→i/5}(z-i/5)(2/{(5i-z)(5z-i)})
=lim_{z→i/5}2/{5(5i-z)}
=2/{5(5i-i/5)}
=2/(25i-i)
=2/(24i)
=1/(12i)
=-i/12
∴留数定理によって
∫_{|z|=1}(2/{(5i-z)(5z-i)})dz
=2πi(-i/12)
=π/6
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