∫(0~2π)dθ/(13-5sinθ) やり方を教えて欲しいです。 途中の計算の解説が欲しいです。

∫(0~2π)dθ/(13-5sinθ)
やり方を教えて欲しいです。
途中の計算の解説が欲しいです。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/26 16:59

∫_{0～2π}{1/(13-5sinθ)}dθ

z=e^(iθ)
とすると
|z|=1
sinθ=(z-1/z)/(2i)=(z^2-1)/(2iz)
dz=ie^(iθ)dθ=izdθ
{1/(iz)}dz=dθ

13-5sinθ
=13-5(z^2-1)/(2iz)
=(5+26iz-5z^2)/(2iz)
=(5i-z)(5z-i)/(2iz)

1/(13-5sinθ)
=2iz/{(5i-z)(5z-i)}

∴
∫_{0～2π}{1/(13-5sinθ)}dθ
=∫_{|z|=1}(2/{(5i-z)(5z-i)})dz

被積分関数の分母(5i-z)(5z-i)を0にするzは 5i と i/5 である
したがって、被積分関数の特異点で|z|<1にあるものは
i/5
だけで、これは1位の極である
また
Res[2/{(5i-z)(5z-i)},i/5]
=lim_{z→i/5}(z-i/5)(2/{(5i-z)(5z-i)})
=lim_{z→i/5}2/{5(5i-z)}
=2/{5(5i-i/5)}
=2/(25i-i)
=2/(24i)
=1/(12i)
=-i/12

∴留数定理によって
∫_{|z|=1}(2/{(5i-z)(5z-i)})dz
=2πi(-i/12)
=π/6

この回答へのお礼

ありがとうございます！分かりやすかったです！

お礼日時：2022/07/26 21:17

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2022/07/25 14:48

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12979461.html

と同じパターンの問題。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2022/07/24 07:02

t=tan(θ/2)と置換すれば、単なる分数式の積分ぬなる。