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数学 因数分解
高校などで習う因数分解では、
次数の最も低い文字に着目すると、
簡単に解ける場合があります。
そこで質問なのですが、これはどういうことなのでしょうか?
次数の低い文字に着目すると解きやすいように、問題を作ってあるのか?
一般的にどんな数式であれ、因数分解を試みる時には次数の低い文字に着目すると良いのか?
数学に詳しい方のご回答をお待ちしています。

A 回答 (2件)

話を簡単にするために、2変数 x,y についての式を因数分解するとします。



もし、xについて1次式なら、
f(y)x+g(y)
という形であって、
これが因数分解できる ⇔ f(y)とg(y)が共通因数をもつ、
となるので、f(y),g(y)を因数分解することが元の因数分解に繋がります。

もし、xについて2次式なら、
f(y)x^2+g(y)x+h(y)
となり、今度は
(1) f(y),h(y)を因数分解して
(2) その上で、たすき掛けでg(y)になるような組み合わせを考える
ことになります。1次式なら(1)だけで済みましたが、今度は(2)が必要になりました。

xについて3次になると、なかなか面倒で、1変数の場合ですら、たすき掛けのような簡単な解法はありません。
それでも3次式なら、2次式 x 1次式 の形になるはずだから、何か1次式で割り切れるはずで、
f1(y)x^3+f2(y)x^2+f3(y)x+f4(y)
なら、f1(y),f4(y)を因数分解し、f(y)をf1(y)の因数、g(y)をf4(y)の因数として
xにg(y)/f(y)を代入して0になれば、g(y)x-f(y)で割り切れる、
を利用すれば計算は大変でしょうが、試行錯誤でなんとかなるかもしれません。
2次式より、はるかに面倒です。

4次以上となると 2次以上 x 2次以上 の場合もあり、ずっと難しくなることが想像できるでしょう。

そういうわけで、なるべく次数の低い文字に注目する方がお得なことが多いのです。
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この回答へのお礼

詳しい説明をありがとうございます。
納得がいきました!

お礼日時:2022/08/02 23:47

高校時代の数学の先生が、試験返却の解説の時に呟いたこと。

キレイな答えが導かれる問題をつくるのに苦労した。
高校数学の因数分解は、解なし、にならないような問題になっています。変数に2か3か5か7まで位の素数を入れると0になるように。または、2分の1か、3分の1か、5分の1か、7分の1を入れると、0になるように。
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