集合論で属する∈と含む⊂、⊆を要素と集合で使い分けています。 それは、それで便利なんだろうとおもうの

集合論で属する∈と含む⊂、⊆を要素と集合で使い分けています。
それは、それで便利なんだろうとおもうのですが、原理的には、含む⊂、⊆だけで、十分なんではないですか？
うまくいえないのですが、属する∈がなくても困らないとおもったもので、質問しました。

質問者からの補足コメント

• もともと、ラッセルのバラドックスで、属するとかつかわなけば、いいのではという単純な動機です。

    補足日時：2022/08/06 14:41

• みなさん、回答ありがとうございます。
  お礼ボタンがつかえないので、補足でします。
  集合論で、外延性の公理がありますが、圏ろんでは、米田の補題に対応するとかいてあるサイトがあり、当方は、戸惑いながら外延性の公理のほうが簡単だなと感じたことがありました。
  適用範囲をまちがえなければ、どちらも有用なんだわかりました。ありがとうございます。

    補足日時：2022/08/07 11:25

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/06 22:00

いや、数学全般を再構成することを考えると、

　x∈X が {x}⊂X で済む話は
だから ∈ は要らない ⊂ で済む と考えるよりも
だから ⊂ は要らない ∈ で済む と考えたほうが
いろいろの証明が楽に済むのだけどね。
集合論の人は、たいていそうする。

圏論の人は、あなたと同じ方向で考えるのだけれど、
圏 Set で集合論を展開するのは労多くして実り少なく、
集合論の各論は集合論にまかせておいたほうが
簡明かつ豊穣。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/06 14:48

ラッセルのバラドックスで使われる　∈も、集合の元に関する

ものです。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/08/06 14:28

x∈Xの代わりに{x}⊂Xと書きたい、ってことですね。

ご自由に。

（その場合、{x}⊂Xと{x} ⊆Xの真偽値が一致するかどうか、なんてややこしいことを考えたくないんで、⊆と⊂を区別せずに、⊆のことも⊂と書くことにしておくのが吉。）

　ちなみに、集合論の公理系は∈の意味を定めたもの。そしてA⊂B（⊆と⊂を区別せずの流儀）という書き方は ∀x(x∈A⇒x∈B) の略記として導入されます。つまり、原理的には⊂だの⊆だのこそ、「なくても困らない」という扱いです。
　それをひっくり返して、⊂ と{x}という書き方の公理系にすることは、できない理由がなさそうに思います。

No.2 回答者： windwald 回答日時： 2022/08/06 14:13

では要素xが集合Nに含まれるときどのように表せば良いのでしょう。

xは集合ではないので x⊂N と書くとおかしなことになります。

この回答へのお礼

{x}⊂Nとして、あらわします。要素xをそもそもみとめない。シングルトンだけみとめる。ではだめですかね。

お礼日時：2022/08/06 14:18

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/06 14:11

同じ言葉でも定義が違う。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/08/06 14:13