空集合

空集合Φは要素がない集合ですが、要素がないということを示すためには、属する∈を使ってどうあらわすのでしょうか。Φ⊆Φは大丈夫なんだろうとおもいますが、Φ∈Φはだめな気がします。属する∈の左の項は何も書かないでいいんでしょうか。あと、Φ　{Φ}、{Φ、{Φ}}、は違う集合ですよね。{Φ}
と{Φ、Φ}は同じ集合いいんですよね。最後にΦはΦとは同じですよね。何か変な質問ですいません。

質問者からの補足コメント

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  違う集合とか同じ集合とか書きましたが、要素がないのに違うとか同じとか言えるのかわからなくなりました。

    補足日時：2022/07/16 19:12

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  丁寧なご説明ありがとうございます。なるほど、要素があるという前提がそもそもみたされないので、後のどんな主張も真なわけですね。外延性の公理ですか。でもこの公理がないと空集合が同じといえなくなって、空集合って本当に一つしかないのと疑問がわいてきて悩ましくなりますよね。あとですね、こんな質問していいのかもよくわからないのですが要素のない集合はΦとして存在していますが、逆に集合のない要素というのは存在するんですか。一匹おおかみみたいな集合に所属しない要素です。どう表現するんでしょうか。任意の集合に所属しない要素とかですか。数学的に意味ないのかもしれないですが、、、、その場合任意の集合ってなんなんですかね。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/16 20:37

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  たびたびすいません。要素は集合だということですよね。たしかに、集合に属さない要素を考えると、つまり一匹おおかみの要素を考えると、変な感じがしたので、質問を取消そうとしたのですが、なんかすごい話になってきてびっくりです。というのは一匹おおかみの要素があるとその一匹おおかみたちをあつめて、簡単に集合をつくれますよね。これってあきらかに変ですよね。馬鹿げているから無意味なんだろうと。補足を書いてきがつきました。ただ、補足での回答では、集合でないものを考えることが必要とされる場合もあるみたいで、何となくおもしろいです。集合ってシンプルで万能だとおもっていましたが、限界があるんですね。丁寧な回答ありがとうございました。

    補足日時：2022/07/16 23:29

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/16 22:32

補足について。

> 集合のない要素

「wは任意の集合に所属しない要素である」ってことは、言い換えれば「{w}は集合ではない」わけですね。
　さて、集合論において扱う「対象」とは、すなわち∀x P(x)と書くときのxになりうるモノ、あるいは∃x Q(x)と書くときのxであるモノ、ってことです。そして集合論では「対象」はどれでも集合です。さらに、xが対象(集合)なら{x}は集合であることが「対の公理」で保障されています。言い換えれば、仰るところの一匹おおかみ w は集合論の対象ではなく、集合論では定義できないし、扱えない。
　具体的には、たとえば「自分自身を要素として含むあらゆる集合を集めたもの」S = {s| s∈s} は集合にならないことが知られています。従って、Sは対象(集合)ではなく、{S}は集合論にとって「なんだかわからんモノ」ということになります。

　実は、集合論の黎明期に S = {s| P(s)} （P(s)は述語）によって集合を定義しようとしたところ、P(s) として s∈s を使うと矛盾が生じることがわかった（Russelのparadox)。そういう事態を回避するように工夫して集合論が作られた、という経緯があります。そして、その工夫の一番のカナメが「外延の公理」なんです。
　ここでの話は標準的な公理系(ZF公理系)に基づいています。（「数学基礎論」と呼ばれます。）だったらすっかり枯れ果てているのかというと、いやそうではない。集合論は今でも様々な研究が行われているアクティブな分野で、面白そうな成果がいろいろ出てきているんです。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/16 19:58

> 要素がないということを示すためには、属する∈を使ってどうあらわす

　「集合Xが要素を持たない」とは、すなわち「どんなxもXの要素ではない」ということですから、
　　∀x(x∉X)
と表せます。（x∉X とは ￢(x∈X) のことです。）そして、要素を持たない集合が存在することが証明できます。

> Φ⊆Φは大丈夫なんだろう

はい、大丈夫です。
　「A⊆B」とは「∀x(x∈A ⇒ x∈B) 」という意味です。すなわち、「どんなxも、もしxがAの要素であるなら、xはBの要素である」ということですね。
　で、もしAが空集合であれば、「どんなxについても、x∈Aになることはないから、(x∈A ⇒ x∈B)は真です。なので、空集合はどんな集合Bについても、Bの部分集合になっています。（Bが空集合の場合も、もちろん成り立ちますね。）

> 違う集合とか同じ集合とか

　集合論の公理において、「A=B」とは「∀x(x∈A ⇒ x∈B) かつ ∀x(x∈B ⇒ x∈A) 」のことだと定めてあります。（外延の公理）言いかえれば、「A=B」とは「A⊆BかつB⊆A」ということです。
　　AとBがどちらも要素を持たない集合であるとき、すなわち
　　　∀x(x∉A) かつ ∀x(x∉B)
であるときには、A⊆BかつB⊆Aですから A=B。すなわち要素を持たない集合はただ一つしかない。そして、その一つしかない「要素を持たない集合」を空集合と呼んで∅という記号で表すことにしたわけです。

> {Φ} と{Φ、Φ}は同じ集合

その通りです。一般に {a}と{a,a}は同じです。
　　∀x(x∈{a}⇒ x∈{a,a}) かつ ∀x(x∈{a,a}⇒ x∈{a})
が成り立つから、
　　{a}={a,a}
がわかります。

> Φ　{Φ}、{Φ、{Φ}}、は違う集合ですよね。

その通りです。
　　Φ∈{Φ}
なので、{Φ}は空集合ではなく1個の要素を持つ。そしてΦ≠{Φ}ですから、{Φ、{Φ}}は2個の要素を持つ。
　実は、集合論で自然数を定義する最も普通のやり方に従うと、
　　0 = ∅
　　1 = {0} = {∅}
　　2 = {0,1} = {∅,{∅}}
　一般に自然数nの「次の自然数」n'は
　　n' = n∪{n}
になります。

この回答へのお礼

丁寧なご説明ありがとうございます。だいたい合っていたみたいで安心しました。そもそもまともな質問になっているのかどうか心配だったのですが、至極もじめに回答いただきありがとうございます。

お礼日時：2022/07/16 20:44