No.2ベストアンサー
- 回答日時:
部分積分を使って
A(n) = ∫[(logx)^n]dx
= ∫[(x)'・(logx)^n]dx
= x・(logx)^n - ∫{x・[(logx)^n]' }dx
= x・(logx)^n - ∫{x・n(logx)^(n - 1)・(1/x) }dx
= x・(logx)^n - n∫[(logx)^(n - 1)]dx
= x・(logx)^n - n・A(n - 1)
はすぐに求まるでしょう。
A(n) の不定積分は、これを繰り返し行っていけばよいです。
詳しくは下記など。
↓
https://manabitimes.jp/math/1164
No.3
- 回答日時:
微分積分というより、部分積分の問題のようです。
(log x)^n = 1・(log x)^n と捉えて部分積分を行うと、
A[n] = ∫{ 1・(log x)^n }dx
= x・(log x)^n - ∫{ x・(d/dx)(log x)^n }dx
= x・(log x)^n - ∫{ x・{n(log x)^(n-1)}(1/x) }dx
= x (log x)^n - n ∫{ (log x)^(n-1) }dx
= x (log x)^n - n A[n-1].
初期条件は、
A[0] = ∫{ (log x)^0 }dx = ∫1dx = x + C ;Cは定数.
漸化式を解くには、両辺を { n! (-1)^n } で割って、
A[n]/{ n! (-1)^n } = { x (log x)^n }/{ n! (-1)^n } + A[n-1]/{ (n-1)! (-1)^(n-1) }.
この式を A[n]/{ n! (-1)^n } の階差が { x (log x)^n }/{ n! (-1)^n } であると見て、
A[n]/{ n! (-1)^n } = A[0]/{ 0! (-1)^0 } + Σ[k=1..n]{ x (log x)^k }/{ k! (-1)^k }
= (x + C)/1 + x Σ[k=1..n]{ (- log x)^k }/k!,
より
A[n] = { n! (-1)^n }{ x + C + x Σ[k=1..n]{ (- log x)^k }/k! }
= { n! (-1)^n }{ C + x Σ[k=0..n]{ (- log x)^k }/k! }.
最右辺の Σ は、これ以上整理できそうな気がしません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 微分積分の極限についての問題がわからないです。 1 2022/08/08 22:46
- 数学 微分積分の二重積分についての問題がわからないです 2 2022/08/08 15:19
- 数学 微分積分のlimについての問題がわからないです。 6 2022/07/14 14:04
- 数学 微分積分の極限についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:57
- 数学 微分積分のn次関数についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:37
- 数学 微分積分の二重積分についての問題がわからないです。 1 2022/07/18 17:43
- 数学 大学数学の微積分の問題です。 曲線 y^2=x(logx)^2 x>0 y^2=0 x=0 のループ 1 2022/07/05 13:47
- 数学 微分積分の極限についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:34
- 数学 微分積分の曲率についての問題がわからないです。 4 2022/07/16 16:23
- 数学 微分積分についての問題がわからない です。 3 2022/08/08 15:13
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数Bの階差数列についててす。 ...
-
絶対値不等式を二乗して解く
-
次の関数をy=(x-p)²+qの形に変...
-
連立不等式の答えの書き方について
-
小町算のやり方 教えて下さい。
-
答えが0になるめちゃくちゃ難し...
-
高1、数Aの問題です。 soccerの...
-
cosx/sinxの積分を教えてください
-
偏微分についてです。
-
不定積分において積分定数を省...
-
数学とかで、答えの下に線を引...
-
6の約数
-
2×4[n-1]の答えを教えてください
-
互いに同形のガラス玉g個と、互...
-
至急!因数分解答え並べ方!
-
【P≠NP予想】容疑者Xの献身を...
-
exp(x^2) の微分と積分の答え...
-
答:略
-
1から9までの数字を使っての問題
-
媒介変数表示でtを消去した式で...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
小町算のやり方 教えて下さい。
-
cosx/sinxの積分を教えてください
-
絶対値不等式を二乗して解く
-
次の関数をy=(x-p)²+qの形に変...
-
数学とかで、答えの下に線を引...
-
exp(x^2) の微分と積分の答え...
-
2けたの正の整数のうち、3の...
-
等比数列であり等差数列でもあ...
-
答えが0になるめちゃくちゃ難し...
-
連立方程式について質問です。 ...
-
高校1年の化学です! 物質量の...
-
500円につき1ポイントは15万...
-
数学Aについて分からない問題が...
-
不定積分において積分定数を省...
-
逆三角関数で90度以上の算出法...
-
【急募】答えが10になる定積分...
-
高校数学
-
連立不等式の答えの書き方について
-
答えが「29」になるすごく難し...
-
高1、数Aの問題です。 soccerの...
おすすめ情報