質問14 i)0<r<2かつn≧-1かつ(0<r<2を考慮した上で)r=lz-1lであるため、z=→

質問14
i)0<r<2かつn≧-1かつ(0<r<2を考慮した上で)r=lz-1lであるため、z=→1となり、f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)とした場合、
f(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)として
z=1の時にn+2位の極を持つため

res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)を使い、


i)0<r<2の場合かつn≧-1かつ(0<r<2を考慮した上で)r=lz-1lであるため、z=→1となり、f(z)=1/{(z^2-1)とした場合、
f(z)=1/{(z+1)(z-1)として
z=1の時に1位の極を持つため

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)を使うのでしょうか？

仮にそうならば
f(z)=1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)とした場合、res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)からa(n)を導くまでを、

f(z)=1/{(z^2-1)とした場合、
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)からa(n)を導くまでを教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 質問15
  f(z)がz=aでk位の極を持つとき
  res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)を使うとの事ですが、
  
  
  f(z)=1/(z^2-1)とした場合、
  res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)からa(n)を導くまでを教えて頂けないでしょうか？
  
  f(z)=1/(z^2-1)
  n≧-1かつ0<r<2の時にz=1でf(z)=1/(z^2-1)は1位の極を持ち、
  
  res(f(z),1)=1/(1-1)! lim[z->1](d/dz)^(1-1)(z-1) 1/(z^2-1)
  = 1/(z+1)
  と導けたのですが、
  
  正しい答えはa(n)=-1/(-2)^(n+2)です。
  
  なぜ正しいa(n)が導けなかったのでしょうか？

    補足日時：2022/08/18 12:18

• 質問15
  2022 8.17 20:35の解答において画像に書いた質問があります。どうか答えて頂けると助かります。
  
  質問16
  なぜmは-1となるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/19 14:52

• ありがとうございます。
  画像について
  0<r<2の時は青、赤、緑の下線部のa(n)の式が使えて、
  r>2の時は青いa(n)の式のみ使う理解で正しいですか？
  
  
  
  青いa(n)の式を展開する過程で以下のように赤か緑の式を使うが
  仮に赤いa(n)の式を使う場合はnの部分をkに変えれば良い。
  
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}
  ={1/(2πi)}2πires(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)},1)
  nの項を+2して
  res(g(z),1)=1/(n+1)! lim[z->a](d/dz)^(n+1)(z-a)^ng(z)
  
  g(z)に1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}を代入。
  
  ={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1)(z-1)^(n+2)1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)}

  
    補足日時：2022/08/20 05:43

• 質問とはことなるのですが、パーシバルの式について画像の赤い下線部のようになるまでの過程式を教えて頂けないでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/22 08:26

• mtrajcp様、ありがとうございます。
  
  こちらが画像です。

  
    補足日時：2022/08/22 10:28

• mtrajcp様、こちらが画像です。

  
    補足日時：2022/08/22 10:30

• ありがとうございます！
  
  ちなみに、画像の⑩から⑦を導くまでは教えて頂くことは可能でしょうか？

  
    補足日時：2022/08/22 11:05

• ありがとうございます。
  
  画像に置いて、緑の下線部の式を求めるまでに赤い下線部の式を青で囲ったように部分的に分けましたが、
  なぜ、どうやって青で囲った式のように置けたのでしょうか？
  
  また、青で囲った式のように分けた後、どうやって赤い下線部を緑色の下線部の式にしたのでしょうか？
  過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/22 20:46

• 最後に
  なぜ直線f(x)とg(x)のx軸の点πの距離の自乗が赤い下線部の式の-π〜πの範囲の面積と等しくなるのでしょうか？
  
  また、等しいとわかった事で何がわかったのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/22 23:17

• 最後に、画像において、直接f(x)とg(z)のx軸の点πでの距離の自乗が赤い下線部の式の-π〜πの範囲の面積となぜ等しいのでしょうか？
  
  また、直接f(x)とg(z)のx軸の点πでの距離の自乗が赤い下線部の式の-π〜πの範囲の面積が等しい事で何がわかったのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2022/08/22 23:23

No.30 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 11:25

「

f(x)とg(x)のx軸の点πでの距離の2乗の積分
」
ではなく
f(x)とg(x)のx=-πからπまでの差の2乗の積分
です

No.29 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/23 11:13

||f-g||=def=√∫_{-π～π}({f(x)-g(x)}^2)dx

は
fとgの距離の定義です

この回答へのお礼

mtrajcp様、ありものがたり様
ありがとうございます。

「直接f(x)とg(z)のx軸の点πでの距離の自乗が赤い下線部の式の-π〜πの範囲の面積となぜ等しいのでしょうか？」
と言った私の本の画像の読み違いから


「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の自乗」
は間違いであり、
「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の差の自乗」
も間違いです
「||f-g||^2はx軸の点πでの距離の差の自乗の積分」
も間違いです
「||f-g||^2はx=-πからπまでのf(x)とg(x)の差の自乗の積分」

正しくは
「||f-g||^2はx=-πからπまでのf(x)とg(x)の差の自乗の積分」
要はx=-πからπまでのf(x)とg(x)の差の自乗の積分と(2/3)π^3(2-a)^2(面積)等しいとわかりました。



赤い下線部ではなく、直線f(x)とg(x)のx=-πからπまでの差の2乗の積分が青い下線部を自乗した式と等しいとわかり、定義してみた結果、公理を満たすから距離と呼んでよいものだとわかりました。

この定義は距離は何を計算する際で何を距離(変数)を定義するかで、その距離が求まるとわかりました。

お礼日時：2022/08/24 13:44

No.28 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/23 05:50

「

f(x)とg(x)の距離
」
というのは特定のxに対するものではないのです
「
fとgの距離
」
という意味です

f(x)とg(x)の距離→fとgの距離

×||f(x)-g(x)||→〇||f-g||

No.27 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/23 03:51

f(x)とg(x)のx軸の点πでの距離の2乗

|f(π)-g(π)|^2=|2π-aπ|^2=π^2(2-a)^2
と

赤い下線部の式の-π～πの範囲の面積

∫_{-π～π}((2x-ax)^2)dx
=(2/3)π^3(2-a)^2

は

等しくありません間違いです
π^2(2-a)^2≠(2/3)π^3(2-a)^2

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど

f(x)とg(x)のx軸の点πでの距離の2乗の積分と

赤い下線部の式の-π～πの範囲の面積

∫_{-π～π}((2x-ax)^2)dx
=(2/3)π^3(2-a)^2
が等しいとわかりました。

お礼日時：2022/08/24 10:53

No.26 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/23 03:47

f(x)とg(x)のx軸の点πでの距離の2乗は

|f(π)-g(π)|^2=|2π-aπ|^2=π^2(2-a)^2
と

赤い下線部の式の-π～πの範囲の面積は

∫_{-π～π}(2x-ax^2)dx
=(2/3)π^3(2-a)^2

等しくありません間違いです

この回答へのお礼

では、本の内容は間違っていたわけでしょうか？

お礼日時：2022/08/23 04:08

No.23 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/22 21:36

図の通り

No.22 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/22 20:12

R=(全実数の集合)

C[-π,π]={f:[-π,π]→R は連続}
上の内積を
(f,g)=∫_{-π～π}f(x)g(x)dx
と定義すると

フーリエ級数展開の定理
から

任意の
f(x)∈C[-π,π]
に対して

a(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)cos(nx)dx (n=0,1,2,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π～π}f(x)sin(nx)dx (n=1,2,…)
とすると

f(x)={a(0)/2}+Σ_{n=1～∞}(a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx))
となる

Φ0(x)=1/√(2π)
Φ{2n-1}(x)=(1/√π)sin(nx)
Φ{2n}(x)=(1/√π)cos(nx)

だから
f(x)={a(0)√(π/2)}Φ0(x)+Σ_{n=1～∞}{(a(n)√π)Φ{2n}(x)+(b(n)√π)Φ{2n-1}(x)}
だから
{Φi(x)}_{i=0→∞}はC[-π,π]の基底となる

(Φ0,Φ{2n-1})
={1/(π√2)}∫_{-π→π}sin(nx)dx
={1/(nπ√2)}[-cos(nx)]_{-π→π}
={1/(nπ√2)}[cos(nπ)-cos(nπ)]
=0

(Φ0,Φ{2n})
={1/(π√2)}∫_{-π→π}cos(nx)dx
={1/(nπ√2)}[sin(nx)]_{-π→π}
=0

(Φ{2n-1},Φ{2n})
=(1/π)∫_{-π→π}sin(nx)cos(nx)dx
={1/(2π)}∫_{-π→π}sin(2nx)dx
={1/(4nπ)}[-cos(2nx)]_{-π→π}
={1/(4nπ)}[1-1]
=0

n≠mの時
(Φ{2n-1},Φ{2m-1})
=(1/π)∫_{-π→π}sin(nx)sin(mx)dx
={1/(2π)}∫_{-π→π}{cos((m-n)x)-cos((m+n)x)}dx
={1/(2π)}[sin((m-n)x)/(m-n)-sin((m+n)x)/(m+n)]_{-π→π}
=0

n≠mの時
(Φ{2n},Φ{2m})
=(1/π)∫_{-π→π}cos(nx)cos(mx)dx
={1/(2π)}∫_{-π→π}{cos((n+m)x)+cos((m-n)x)}dx
={1/(2π)}[sin((n+m)x)/(n+m)+sin((m-n)x)/(m-n)]_{-π→π}
=0
だから

基底{Φi(x)}_{i=0→∞}はC[-π,π]の直交基底となる

(Φ0,Φ0)=∫_{-π→π}({1/√(2π)}^2)dx=2π/(2π)=1

(Φ{2n-1},Φ{2n-1})
=(1/π)∫_{-π→π}({sin(nx)}^2)dx
={1/(2π)}∫_{-π→π}{1-cos(2nx)}dx
={1/(2π)}[x-sin(2nx)/(2n)]_{-π→π}
=2π/(2π)
=1

(Φ{2n},Φ{2n})
=(1/π)∫_{-π→π}({cos(nx)}^2)dx
={1/(2π)}∫_{-π→π}{1+cos(2nx)}dx
={1/(2π)}[x+sin(2nx)/(2n)]_{-π→π}
=2π/(2π)
=1
だから
直交基底{Φi(x)}_{i=0→∞}はC[-π,π]の正規直交基底となる

No.21 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/22 11:28

図の通り

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/22 11:02

m=0の時

α(0)={a(0)√(2π)}/2
m=2n-1の時
α(2n-1)=a(n)√π
m=2nの時
α(2n)=b(n)√π
を

Σ_{m=0～∞}{α(m)}^2
に
代入すると
Σ_{m=0～∞}{α(m)}^2
=
(π/2){α(0)}^2+πΣ_{n=1～∞}({a(n)}^2+{b(n)}^2)
となる

この回答へのお礼

ありがとうございます。
どこかの誰かが変な質問を載せたせいで、気になる疑問が出てしまいました。

「ここでは周期2πの級数展開を導きます。 内積の定義は (f,g)=∫_{-π→π}f(x)g(x)dx です。
今 {1√(2π), (1/√π)cosx,(1√π)sinx, (1√π)cos2x,(1/√π)sin2x,...} の元を順に Φ₀(x)=1/√(2π),Φ₁(x)=(1/√π)cosx,... とおくと、{Φᵢ(x)}_{i=0→∞}が正規直交基底になっています。」

と言われたのですが、なぜ{Φᵢ(x)}_{i=0→∞}が正規直交基底になるのかわかりません。

どうか教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/08/22 15:53

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/22 10:18

パーシバルの式について画像の赤い下線部のようになる

というのは無条件にはなりません間違いです
その式の前に
f(x)に関する条件が書いてあるはず
問題条件を書かないで答えだけを書いてはいけません

この回答へのお礼

ただ今全体を、上げます

お礼日時：2022/08/22 10:27