任意の→xに対して →a・→x=→b・→x と →a=→b は同値ですか

参考書には任意の→xに対して
→a・→x=→b・→x 　と　→a=→b　は同値
と書かれていました。
しかし、→xが0のとき、成立しないと思います。
それとも、私の「任意の」という意味の捉え方がおかしいのでしょうか。
参考書の証明には→xは任意だから→x=→a-→bとすると、、、というふうに証明されていました。
その証明方法はいいのですか？

質問者からの補足コメント

• 私は全ての→xに対して
  →a・→x=→b・→x 　と　→a=→b　は同値
  と思っていましたが、
  この問題では
  ある→xについて→a・→x=→b・→x がなりたつことと
  →a=→bが同値ということですか

    補足日時：2022/09/09 21:38

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/09 22:55

＞ (どんな→xでも→a・→x=→b・→xがなりたつ）と→a=→bが同値ということですか。

そうあるべきだと思います。
その教科書が頭のおかしい本でなければ、そのように書いてあったはずです。

＞ あと参考書の→xは任意だから→x=→a-→bとすると、、、というところの
＞ 意図を教えていただきたいです。

どんな →x でも →a・→x=→b・→x が成り立つのであれば、
→x=→a-→b のときにも成り立つ...という意味です。
意図としては、そうやって →x=→a-→b を代入すれば、
→a・→a=→b・→b から |→a|=|→b| が示せるという意図でしょう。

この回答へのお礼

何度もありがとうございます。

お礼日時：2022/09/09 23:00

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/09 21:58

＞ 私は全ての→xに対して

＞ →a・→x=→b・→x 　と　→a=→b　は同値
＞ と思っていましたが、

そうじゃないよね...というのが、No.2 の趣旨。
任意の→xに対して(→a・→x=→b・→x と →a=→b は同値)
という命題は(君が言うとおり)偽だから。

＞ この問題では
＞ ある→xについて→a・→x=→b・→x がなりたつことと
＞ →a=→bが同値ということですか

そうじゃなくて、
(任意の→xに対して →a・→x=→b・→x) と →a=→b は同値
という話だろうと言っている。
これなら、よく知られた真な命題だから。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
理解力がなく何度も回答していただき、ありがとうございます。

＞(任意の→xに対して →a・→x=→b・→x) と →a=→b は同値
を自分の言葉でかみ砕いて理解したいのですが、
(どんな→xでも→a・→x=→b・→xがなりたつ）と→a=→b　が同値ということですか。

あと参考書の→xは任意だから→x=→a-→bとすると、、、というところの意図を教えていただきたいです。

お礼日時：2022/09/09 22:48

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/09 21:54

当然、補足は誤り

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/09/09 22:29

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/09 03:21

「任意の～」は

「どんな～でもひとつの例外もなく常に」
という意味。

任意だから→xがゼロベクトル以外の時も
なりたたなきゃ駄目ということ。

どんなxでも常に
→a・→x=→b・→x
なら
→a=→b

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/09/09 21:40

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/08 23:40

改行してるとこが悪いよ。

任意の→xに対して(→a・→x=→b・→x と →a=→b は同値)
と読んでしまうと、→x が 0 のとき成立するとかしないとか
そういう考えが生まれてしまうかもしれない。
参考書が言いたかったのは、
(任意の→xに対して →a・→x=→b・→x) と →a=→b は同値
のはず。こっちの話なら正しい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私の読み取り方が悪かったのですね。

お礼日時：2022/09/09 21:40

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/08 22:31

x=0 であっても a・x=b・x

は成立していますから、左辺が成立するという命題にはなんの問題
もありません。そのとき、a≠b　の可能性もありますが、x≠0 の場
合も左辺は成り立たねばならず、以下のように推論が成り立ち、そ
の証明で問題ない。

xは任意だから a≠bとして　x=a-b をとれば、
　(a-b)・(a-b)=0 → a-b=0
となり、a≠bという仮定が矛盾しているので a=bとなる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/09/09 21:39