この数学の極限の問題で ◽︎に入るのは必要ですか？同値ですか？

この数学の極限の問題で

◽︎に入るのは必要ですか？同値ですか？

質問者からの補足コメント

• こういう事ですか？

  
    補足日時：2022/09/10 21:14

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2022/09/19 12:05

まずｂ＝√(a-1)というのは条件式の収束のたんなる必要条件に

過ぎない。
なぜならばa＝1、ｂ＝0はｂ＝√(a-1)をみたすが
先に示したように条件式は発散してしまう。
したがって条件式の収束のためにはｂ＝√(a-1)のほかに
a＞1が必要になる。
しかし逆にｂ＝√(a-1)とa＞1から出発して条件式の
ｂに√(a-1)を代入して条件式は(1/4)*1/√(a-1)二収束することを
証明することができる。つまりｂ＝√(a-1)とa＞1は
条件式が収束のための必要十分条件である。
ところで本問は収束値が1/4だからそのためには
a＝2、ｂ＝1でなければならないが逆にa＝2、ｂ＝1ならば
さきの2つの必要十分条件をみたしてかつ収束値は1/4だから
結局a＝2、ｂ＝1が条件式が1/4二収束するための
必要十分条件となります。

この回答へのお礼

難しいですね……

お礼日時：2022/09/23 18:47

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2022/09/12 15:48

a＝1、ｂ＝0でも√(a-1)-b=0はなりたつけども、このとき

条件の式＝{1/(x－π)^2}*√2sin{(x－π)/2}となってｘ→πのとき
1/4に収束するどころか無限大に発散してしまう。
これを見ても√(a-1)-b=0が必要条件でしかないとわかります。
塾の先生が言っているのは極限値が1/4となるa、ｂをさがすために
与えられた式のｂに√(a-1)を代入せよ、ということです。

この回答へのお礼

代入したら十分性を示したことになるんですか？

お礼日時：2022/09/18 12:02

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/11 22:58

そうです。

そういっているのがわかりませんか?

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/10 21:39

√(a-1)-b=0・・・・①

のとき、ロピタルしていくと
　lim{√(a+cosx)-b}/(x-π)²=lim{-sinx/2√(a+cosx)}/2(x-π)
　={1/4√(a-1)}lim -sinx/(x-π)={1/4√(a-1)}lim -cosx/1
　=1/{4√(a-1)}・・・・②
これは　1/4　だから
　1/(a-1)=1 → a=2
①から
　b=1

このとき、a=3 , b=√2 なら①を満たすが②で1/8となり、1/4
にならず。

この回答へのお礼

塾の先生は①をPに代入して1/4になるから成り立つと言い十分性の確認をしませんでした

これは間違いではないんですか？

お礼日時：2022/09/11 22:33

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/10 14:12

これだけでは、a,bは定まらない。

a=3 , b=√2 のとき

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/10 13:52

必要です。

この回答へのお礼

反例をお願いしてもいいですか？

お礼日時：2022/09/10 13:57