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連立微分方程式
dx/dt = |y| , dy/dt = x (-∞<t<∞)
について、

(1) t=0で x=0, y=-1 となる解を求め、(x,y) が描く曲線を図示せよ。

A 回答 (1件)

あれ? これ前の質問で済んでないの?



微分方程式は、各局所において
y ≧ 0, dx/dt = y, dy/dt = xと
y ≦ 0, dx/dt = -y, dy/dt = x とに場合分けされる。
初期条件 (t,x,y) = (0,0,-1) を持つ解は、
少なくとも |t| の小さい所では
y < 0, dx/dt = -y, dy/dt = x の解である。

dx/dt = -y, dy/dt, (t,x,y) = (0,0,-1) を解いて、
x = sin t, y = -(cos t).
この解は、 -π/2 ≦ t ≦ π/2 の範囲では唯一である。 ←[0]

上記の解が y = 0 となる点で他の解に接続するか
否かが問題となる。
y = 0 となる点としては、上記の解は
(x,y) = (1,0) ;t = π/2 + 2π(整数) のとき
(x,y) = (-1,0) ;t = -π/2 + 2π(整数) のとき
を通るが、

y ≧ 0, dx/dt = y, dy/dt = x の一般解は
x = A(sinh t) + B(cosh t), y = A(cosh t) + B(sinh t) ; A,Bは定数
なので、これが
(x,y) = (1,0) を通るのは x = cosh(t - π/2), y = sinh(t - π/2) のとき、 ←[1]
(x,y) = (-1,0) を通るのは x = -cosh(t + π/2), y = -sinh(t + π/2) のとき。 ←[2]
これらのうち、接続点で dx/dt, dy/dt が [*] と一致するのは、
t = π/2 のときの [1] と
t = -π/2 のときの [2] のみ。
これらの点上で、解は分岐する。
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この回答へのお礼

意図が伝わらなかった。
解の接続論理が温すぎる。他に回答もないので概略は
こんな感じだろうか。

お礼日時:2022/09/17 17:55

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