全部揃う確率は何パーセントですか？

入場者特典で全20種類の中からランダムで1種類が貰えるイベントがあります。20種類全部集めたいのですが全部集まるのは何回目に参加した時でしょうか。また、20回から40回までそれぞれ何パーセントかひとつずつ書いて欲しいです。よろしくお願いします。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/20 20:45

プログラム 書いてみました。

N = 20
p = [[0] for i in range(N+1)]
p[0][0] = 1

for m in range(1, 151):
　p[0].append(0)
　for n in range(1, N+1):
　　if n < N:
　　　pp = p[n][m-1] * n/N + p[n-1][m-1] * (N-n+1)/N
　　else:
　　　pp = p[n-1][m-1] * (N-n+1)/N
　　p[n].append(pp)

for i, P in enumerate(p[20]):
　if i >= N:
　　print(i, P)

結果
回数(m)とその回数で丁度コンプする確率です。

No.3 さんと数字が違うのは、No.3 のは m回以下でコンプする
確率。

私のは 丁度m 回でコンプする確率だからです。
確率は 60 回でピークになります。

また当然ながら、 m を無限大まで
各確率を全部足すと１になります。

20 2.32019615953125e-08
21 2.204186351554687e-07
22 1.1186245734140037e-06
23 4.0309057904056355e-06
24 1.1569336077273189e-05
25 2.8137737869926548e-05
26 6.025947110643382e-05
27 0.00011662319204957858
28 0.0002077921344146927
29 0.00034559561460303386
30 0.0005422831613810894
31 0.0008095587632353646
32 0.0011576219786710582
33 0.001594328350780498
34 0.0021245519048026804
35 0.0027497963664860057
36 0.003468066549049141
37 0.004273982123956329
38 0.0051590952188683955
39 0.006112361419867738
40 0.0071207098332476595
41 0.008169660161009302
42 0.009243941296124167
43 0.010328074893052543
44 0.011406897174496913
45 0.012466001749925614
46 0.013492094689534545
47 0.014473260103400987
48 0.015399139870507592
49 0.016261034986766867
50 0.017051938416536596
51 0.017766510564159985
52 0.018401008778859845
53 0.018953181909363306
54 0.019422140051116345
55 0.019808208462597073
56 0.020112773315381992
57 0.020338125597339884
58 0.020487308190044483
59 0.020563969943771333
60 0.020572229508122226
61 0.020516550758478216
62 0.020401630890844676
63 0.020232301634348804
64 0.020013443540261116
65 0.01974991293434411
66 0.019446480849593887
67 0.019107783072922418
68 0.018738280326654318
69 0.01834222754978323
70 0.01792365123221851
71 0.01748633377690567
72 0.01703380391055204
73 0.016569332226144835
74 0.016095931013370233
75 0.015616357611566697
76 0.015133120600219463
77 0.014648488221408426
78 0.014164498505019973
79 0.013682970639520595
80 0.013205517197768944
81 0.012733556888213976
82 0.012268327556694356
83 0.01181089921295025
84 0.011362186899078811
85 0.010922963254817106
86 0.010493870667102494
87 0.010075432919262904
88 0.00966806627886781
89 0.00927208998316542
90 0.008887736097569304
91 0.008515158736244357
92 0.008154442644855955
93 0.00780561115433547
94 0.007468633521396465
95 0.007143431676792762
96 0.006829886406196013
97 0.006527842991309429
98 0.006237116340622488
99 0.005957495640218867
100 0.005688748555424144
101 0.005430625013947055
102 0.005182860600636436
103 0.004945179593136112
104 0.004717297666648961
105 0.004498924294782776
106 0.004289764872097467
107 0.004089522582548738
108 0.0038979000365629837
109 0.0037146006980098394
110 0.0035393301208850045
111 0.0033717970140938595
112 0.00321171415134925
113 0.0030587991418742346
114 0.0029127750763394693
115 0.0027733710612696545
116 0.0026403226540267035
117 0.0025133722094200692
118 0.0023922691480067664
119 0.0022767701552240047
120 0.002166639319644139
121 0.002061648217852454
122 0.001961575952720425
123 0.0018662091511774611
124 0.0017753419269695835
125 0.0016887758133307458
126 0.0016063196699782826
127 0.0015277895683750242
128 0.0014530086587737734
129 0.0013818070221720167
130 0.001314021509952985
131 0.001249495573670695
132 0.0011880790871486894
133 0.0011296281628023774
134 0.0010740049638607546
135 0.00102107751395269
136 0.0009707195053338259
137 0.0009228101068605298
138 0.000877233772665541
139 0.0008338800523542773
140 0.000792643403419762
141 0.0007534230064663761
142 0.0007161225837368946
143 0.0006806502213523469
144 0.0006469181955991049
145 0.0006148428035312633
146 0.0005843441980979749
147 0.0005553462279540992
148 0.0005277762820676279
149 0.000501565139198162
150 0.00047664682228666406

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/20 13:28

これ、m回でn個集める確率をp(m、n)とすると

p(m+1、n)=p(m、n)×n/20 + p(m、n-1)×(20-n+1)
だから、手計算は厳しいが、プログラム組むのは簡単。

因みにコンプする回数の期待値は 20×(1+1/2+1/3+・・・1/20) ≒72
と計算出来ます。あちこちに証明載ってます。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/12/20 11:27

①(1/20)²⁰が集まる確率。

②この逆数が集まるまでの参加回数。

①=9.5/10000・・・・・0　0が27個続く
②=1000・・・・・0回　0が26個続く
宇宙はトックニなくなっている。

No.3 回答者： neKo_deux 回答日時： 2022/12/20 10:08

「ガチャ コンプ 計算」とかのキーワードで検索すると、計算してくれるサイトがあります。

計算サイト - コンプリートの確率
https://www.calc-site.com/probabilities/complete

カードの種類：20
カードを引く回数：参加回数
で計算してください。

期待値だと、約72回でコンプできるハズですが、ガチャの場合は期待してはならない。

20回でコンプの確率は、0.00000232%
30回でコンプの確率は、0.132%
40回でコンプの確率は、3.589%
50回でコンプの確率は、16.418%
60回でコンプの確率は、36.061%
70回でコンプの確率は、55.508%
80回でコンプの確率は、70.871%
90回でコンプの確率は、81.621%
100回でコンプの確率は、88.654%


グループとかで参加して、交換とかが真っ当。

No.2 回答者： すんすんにゃ 回答日時： 2022/12/20 08:44

あまりにも低い確率です。

書くのも大変なくらいですので、省略させていただきますが、
仮に20回目ですべて揃う確率は0.000002%でした。
ちなみに宝くじの1等当選確率は0.00001%と言われています。

イベント参加のみで特典をすべて集めるのはあまりに非現実的でしょう。

No.1 回答者： Castelland 回答日時： 2022/12/20 08:18

ランダムを確率にすると相当低い　

恐らく何万分の1に　なります