単元(可逆元)は、何になると思いますか？

ℤ[1/6]＝{n/6^k│n∈ℤ,k∈ℕ}の単元(可逆元)を全て求めよ。
この問題がわかりません。
分かる方がいましたら教えてください。

代数学　大学数学　環論

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/17 10:45

#1訂正です

{±(2^a)(3^b)}_{a∈Z,b∈Z}

a∈Z,b∈Zに対して
m=min(a,b)
m≧0のとき
±(2^a)(3^b)=±(2^{a+1})(3^{b+1})/6^1∈Z[1/6]
m≦-1のとき
±(2^a)(3^b)=±(2^{a-m})(3^{b-m})/6^(-m)∈Z[1/6]

k=max(a,b)
k≧1のとき
±1/{(2^a)(3^b)}=±(2^{k-a})(3^{k-b})/6^k∈Z[1/6]
k≦0のとき
±(2^{-a})(3^{-b})=±(2^{1-a})(3^{1-b})/6^1∈Z[1/6]

だから
整数a,bに対して
±(2^a)(3^b)
は単元

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
訂正もわざわざありがとうございます（o_ _)ｏ））

お礼日時：2023/01/17 19:32

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/16 13:33

∃m∈Z,∃h∈N, (n/6^k)(m/6^h)=1 が成り立つ n∈Z,k∈N を探せばいい。

この等式は nm=6^(k+h) と書けるから、n=±(2^a)(3^b), a,b∈N が解になる。
改めて a-k=A, b-k=B と置けば、単元は n/6^k = ±(2^A)(3^B), A,B∈Z.

この回答へのお礼

わかりやすいです！ありがとうございます！！

「nm=6^(k+h) …①と書けるから」⇒「n=±(2^a)(3^b), a,b∈N が解」
というのは、
①の右辺の素因子が２と3のみしかないから。ということですよね？

お礼日時：2023/01/17 19:31

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/16 04:03

{±6^m}_{m∈Z}

m≧0のとき
±6^m=±6^(m+1)/6^1∈Z[1/6]
±1/6^m=±6/6^(m+1)∈Z[1/6]

m≦-1のとき
-m≧1
±6^m=±1/6^(-m)∈Z[1/6]
±6^(-m)=±6^(1-m)/6^1∈Z[1/6]

整数mに対して
±6^mは単元