絶対値とAll

すべての正数 b について│ax+b│≧1 かつ 0≦x≦1 を満たす x が存在する
ための a の条件を求めよ.

質問者からの補足コメント

• 問題補足です

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/01 02:10

• 

  ご回答ありがとうございます
  
  ご返信が遅くなりまして申し訳ありません
  
  少し体調を崩してしまい、、、
  
  早速、グラフでの答案を作成します
  
  その際はよろしくお願いします。
  
  from minamino

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/01 20:06

• 答案明日になりそうです
  
  それまでは No Hint でお願い致します。
  
  では、
  
  from minamino

    補足日時：2023/03/02 08:10

• 

  お待たせして申し訳ございませんでした
  
  全く自信ありませんが、以下のように考えてみました
  
  ご評価、ご指導ください
  
  何卒宜しくお願い致します

  
  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/03 10:40

• 

  ご回答お待ちしていました。
  ありがとうございます
  
  実は随分と苦労しました
  
  始めは、b=y と考えてグラフで処理しようと思いましたが挫折し
  なかなかこの発想から抜け出せず
  
  思いきって、今回の答案の考え方に至りました
  
  それでも、絶対値のグラフの軸が1/2になるときを中々見いだせず苦労しました
  
  出来上がった答案はとても不安でしたが、syotao先生にO.Kを
  
  頂いたので少し安心しました。
  
  本当にいつもありがとうございます
  
  from minamino

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/04 16:31

No.6 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/03/04 15:40

そのグラフでいいと思う。

aがグラフの傾きでｂがグラフのy切片であること
またグラフがx軸と接触する点の左右で対称になっていることを
考えれば、そのグラフからはaがa≦-2　か　1≦aをみたさない場合
0＜ｂ＜1　となるようなｂの選びようによっては
0≦x≦1なるすべてのｘについて│ax+b│＜1になるようなグラフが
あることがすぐわかります。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2023/03/02 18:59

からだ無理しないでね（^^）

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2023/02/28 18:07

まず、b≧1ならｘ＝0のとき│ax+b│≧1だからaはしぼれない。

なので0＜ｂ＜1。とする。
a＞0のとき0≦x≦1でax+bは単調増加でしたがって
同じ区間で＞0だから
表題の条件が成立つためにはｘ＝1のときのax+bの値つまり
a＋ｂが≧1であることが必要であるから
a≧1-ｂ、ここでｂは0＜ｂ＜1の任意の値で左の不等式が
成立たなければいけないからここでｂ→＋0とすればa≧1が出る。
つぎにa＜0のとき同じ区間でax+bは単調減少だから
表題の条件が成立つためにはｘ＝1のときのax+bの値つまり
a＋ｂが＜0でその絶対値-(a＋ｂ)≧1であることが必要であるから
a≦-1-ｂ、これが0＜ｂ＜1の任意のｂでなりたつから
ｂ→1-0とすればa≦-2が出る。
逆にa≧1か≦-2ならば表題条件が成立つのはほぼ明らかだから
回答＃3が求めるaの条件である。

てな具合です。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2023/02/27 21:41

これもグラフから考えると

a≦-2　か　1≦a　になるけど
文章での説明はまたあとで。

No.2 回答者： kantansi 回答日時： 2023/02/26 23:07

与えられた不等式は、以下の2つの不等式を組み合わせて得られます。

ax + b ≥ 1 および -ax - b ≥ 1 (ax + b が正、-ax - b が負の場合)

-1 ≤ ax + b ≤ 1 および -1 ≤ -ax - b ≤ 1 (ax + b が負、-ax - b が正、またはax + b と -ax - b がともに負の場合)

これらの不等式を解くために、aがどのような値をとると条件が成立するかを調べます。

ax + b ≥ 1 および -ax - b ≥ 1 の場合
ax + b ≥ 1 について、x = 0 を代入すると b ≥ 1 となります。
また、x = 1 を代入すると a + b ≥ 1 となります。
同様に、-ax - b ≥ 1 について、x = 0 を代入すると -b ≥ 1、x = 1 を代入すると -a - b ≥ 1 となります。

これらの式から、aとbの取りうる範囲を考慮すると、条件は -1 ≤ a ≤ 1 および b ≥ 1 であることがわかります。

-1 ≤ ax + b ≤ 1 および -1 ≤ -ax - b ≤ 1 の場合
-1 ≤ ax + b ≤ 1 について、x = 0 を代入すると -1 ≤ b ≤ 1、x = 1 を代入すると -1 ≤ a + b ≤ 1 となります。
同様に、-1 ≤ -ax - b ≤ 1 について、x = 0 を代入すると -1 ≤ -b ≤ 1、x = 1 を代入すると -1 ≤ -a - b ≤ 1 となります。

これらの式から、aとbの取りうる範囲を考慮すると、条件は -1 ≤ a ≤ 1 および -1 ≤ b ≤ 1 であることがわかります。

したがって、条件は -1 ≤ a ≤ 1 および b ≥ 1 または -1 ≤ b ≤ 1 のいずれかであることがわかります。

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/02/26 22:34

いやですッ！