割り算の余りと商を求める連立式

ある整式Aをx-5で割ったときの商がｘ-4で余りはRである。
また、Aをｘ+3で割ったときは、商がQで余りは25ある。
このとき、余りR、商Qおよび整式Aを求めよ。

この問題なのですが、どのように解けばいいのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： mmegganne 回答日時： 2012/09/18 12:48

整式の割り算なので、余りの次数は割る式の次数より小さくなるので、

Rは定数です。

次の式が立ちます
A=(x-5)(x-4)+R ‐(1)
A=(x+3)Q+25 ‐(2)

xには好きな数が代入できます。
なので、
Aに5を代入 A(5)=R=8Q+25
Aに4を代入 A(4)=R=7Q+25
Aに-3を代入 A(-3)=56+R=25

あとは、A,Qは整式、Pは定数に注意して解くと、
A=x^2-9x-11,Q=x-12,R=-31

この回答へのお礼

みなさん完璧な回答ありがとうござます。
mmegganneさん、suko22さん、birth11さんの回答でやっと理解することが出来ました。
BAは三人につけてあげたいぐらいなので、回答が一番早かったmmegganneさんにさせていただきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/09/19 17:08

No.4 回答者： birth11 回答日時： 2012/09/18 15:51

A = ( x - 5) ( x - 4 ) + R

x の 1 次式で割ったあまりが R なので R は x の 0 次式。よって、R は定数。
A = x^2 - 9 x + ( 20 + R )……………(1)

また、
A = ( x + 3 ) Q + 25……………………(2)
(1)より A は x の 2 次式なので、
Q = a x + b とおける。これを(2)に代入すると、
A = ( x + 3 ) (a x + b ) + 25 = a x^2 + ( 3 a + b ) x + ( 3 b + 25 )……………(3)

(1) と (2) の係数を比較すると、

a = 1
3 a + b = -9
20 + R = 3 b + 25

a = 1
b = - 12

R = - 31
Q = a x + b = x - 12
A = x^2 -9 x - 11

以上

No.3 回答者： suko22 回答日時： 2012/09/18 13:54

＞素直に式にしてみたのですが

＞A=(x-5)(x-4)+R
＞　=x^2-9x+20+R
＞A=Q(x+3)+25
＞　=Qx+3Q+25
＞となってxとRとQの三つの文字が出てここから先に進めないんです。

ある整式Ａは2次式ですね。
そうすると、Ａはｘの2次式、Ｒは定数、Ｑはｘの1次式になります。

それを明示するために、ＡをＡ（ｘ）、ＱをＱ（ｘ）とかいて上式を書き直すと、
Ａ（ｘ）＝（ｘ-5）（ｘ-4）+Ｒ
Ａ（ｘ）＝（ｘ+3）Ｑ（ｘ）+25

Ａ（ｘ）を消去すると、
（ｘ-5）（ｘ-4）+Ｒ＝（ｘ+3）Ｑ（ｘ）+25
この式にｘ＝-3を代入するとＲがでます。

あとは、Ａ（ｘ），Ｑ（ｘ）も続けて出せると思います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/09/18 12:25

そこに書いてあることを素直に式にする.

この回答への補足

素直に式にしてみたのですが
A=(x-5)(x-4)+R
　=x^2-9x+20+R
A=Q(x+3)+25
　=Qx+3Q+25
となってxとRとQの三つの文字が出てここから先に進めないんです。

補足日時：2012/09/18 12:30