以前に 「画像のローラン展開は f(z)=1/(z^2-1) の z=-1の周り0<|z+1|<2で

以前に
「画像のローラン展開は

f(z)=1/(z^2-1)
の
z=-1の周り0<|z+1|<2での展開
iii)0<|z+1|=r<2
なので

過去に何度も書いた
z=1の周りでの展開
i)0<|z-1|=r<2
ii)2<r=|z-1|
のどちらでもありません」
と言われたのですが、

どこから0<|z+1|=r<2の範囲と作れたのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 補足で申し訳ありません。
  
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側 |z-1l<r<2
  で
  g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
  
  について。
  
  n≦-2の場合、
  |z-1l<r<2のzにz=1を代入しても0<r<2は成り立つし、
  |z-1l<r<2のzにz→1を代入しても0.001<r<2は成り立つため、特異点であると導けました。
  ですが、以前教えて頂いた時はz=1の時は特異点ではないと言われました。
  z=1の時は特異点ではないので正側と言えるのでしょうか？
  
  私は何を間違ったのでしょうか？

    補足日時：2023/03/01 16:19

• z=π/2+0.001として、
  
  tan(z)をローラン展開して
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  としたのですが、
  
  どうやって
  
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  から
  =-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・
  と導いたのでしょうか？
  
  どうさ過程の式を教えて頂けないです。

    補足日時：2023/03/02 14:00

• z=π/2+0.001として、
  
  tan(z)をローラン展開して
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  としたのですが、
  
  どうやって
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  から
  =-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・
  と導いたのでしょうか？
  
  また、
  a(2) (z-π/2)^2の値はどうやって導いたか教えて頂けないでしょうか。
  
  どうか過程の式を教えて頂けないです。
  
  また、
  「tan(z)をローラン展開して
  tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・」を解答に書いて頂いた上で、
  「訂正です0でない第2項はa(1)の項でした」と書かれていたのですが、意味がわかりませんでした。
  どういう意味か教えて頂けないでしょうか？
  
  解答はmtrajcp様から頂いたものです。

    補足日時：2023/03/02 14:12

• ありものがたりさんに質問がございます。
  「F(z) が z=a を特異点に持つということは
  lim[z→a]F(z) が発散することじゃなく
  F(z) が z=a で微分不能だということだと言ってるんですよ？
  例えば、F(z) = z sin(1/z) の場合、
  lim[z→0]F(0) = 0 は収束しますが、F’(0) は存在しません。
  で、z=0 はこの F(z) の特異点だという話をしているんです。」
  より以前、mtrajcp様に極の定義を画像のように教えて頂いたのですが、
  
  F(z) = z sin(1/z)の場合より、
  z→0の時、F(z) = z sin(1/z)は収束するまではわかりますが、収束するにも関わらず微分が出来ないならば、極の定義に反していると思うのですが、

  
    補足日時：2023/03/03 07:43

• 私は何かしら勘違いをしていて、正しくは
  収束とは、a(n)はコーシーの積分定理により0になります。
  コーシーの積分定理によりa(n)は積分出来るため、微分も出来ると考えたのですが、これは単純にa(n)が0になるため微分が出来ない、
  微分が出来ないからz=0 はこの F(z) の特異点だと伝えたいのでしょうか？
  
  また、発散とはa(n)の式が作れるため、微分が可能であり、特異点ではないという事でしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/03/03 07:49

• ①に関して
  >>
  z=1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  z=-1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  どちらも
  特異点1,-1を含みません
  
  画像のようにz=1あるいはz=-1が中心とするにしても、黄色や緑色の範囲では特異点z=1,-1を含まないと言うイメージでしょうか。
  
  ちなみに、
  z=1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  z=-1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  どちらも
  特異点1,-1を含まないのはf(z)=1/(z^2-1)の分母が0になり式として成り立たないため、黄色、緑色の範囲ではz=1,-1を含まないわけでしょうか？
  
  出来れば、画像のような図を使って説明してくださると助かります。

  
    補足日時：2023/03/04 02:59

• 度々申し訳ありません。
  
  質問があります。
  
  ⑥
  「z=1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  z=-1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  どちらも
  特異点z=1,-1を含まれない」
  について、
  「z=1を中心とするローラン展開の範囲」の「z=1」と
  「特異点z=1,-1を含まれない」の「z=1」は同じzでしょうか？
  すなわち、z=1はローラン展開の範囲の中心点であり、特異点でもあるわけでしょうか？
  
  ⑦
  画像の図は0<|z-1|<2は赤点のz=1を含まれないとのことですが、この図は
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側 |z-1l<r<2
  のn≧-1とn≦-2のどちらの場合を表した図でしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/03/04 09:29

• mtrajcp様、お手数をお掛けしますが、
  どうか、1枚目と2枚目の画像を結合した質問に答えて頂けるとありがたいです。
  毎回毎回申し訳ありません。

  
    補足日時：2023/03/05 07:46

• ありがとうございます。
  画像の補足の質問にも答えて頂けるとありがたいです。

  
    補足日時：2023/03/06 18:36

• 図に関しては図は
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  z-1=r
  の内側|z-1|<r<2
  で
  g(z)=1/1(z+1)(z-1)^(n+2)
  
  のn≧-1の場合、z=1が極であり、特異点でもあるため、図の赤い中心点はz=1であり、式g(z)の分母が0になるため、除かれるとわかりました。(※g(z)の式はn≧-1の場合、点z=1が極であり、特異点であるため、式g(z)の分母は0になるため、微分できないため、コーシーの積分定理により0にならないため、a(n)=の式が導けてるため、式g(z)において、n≧-1でz=1の時、ローラン展開することが出来ます。)

  
    補足日時：2023/03/06 22:25

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/01 16:48

f(z)=1/(z^2-1)=1/{(z+1)(z-1)}

だから

f(z)の特異点は
z=1
と
z=-1
の
2つあるのです

だから当然

ローラン展開は

z=1を中心とするローラン展開
と
z=-1を中心とするローラン展開

の
2通りあるのです

z=1を中心とするローラン展開の範囲は特異点1,-1を含まないから
1と-1の距離は2だから
(z=1を中心とし半径rの円周上の点zの集合は{z;|z-1|=r}だから)
z=1を中心とする半径2の円の中心と周を除く内部全体
{z;0<|z-1|<2}=∪_{0<r<2}{z;|z-1|=r}

z=-1を中心とするローラン展開の範囲は特異点1,-1を含まないから
1と-1の距離は2だから
(z=-1を中心とし半径rの円周上の点zの集合は{z;|z+1|=r}だから)
z=-1を中心とする半径2の円の中心と周を除く内部全体
{z;0<|z+1|<2}=∪_{0<r<2}{z;|z+1|=r}

となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
と言う事は今までは、
z=1を中心とするローラン展開のn≧-1やn≦-2の場合わけでz=1やz=-1を扱っていたのだとわかりました。


しかし、疑問があります。

①なぜz=-1を中心とするローラン展開の範囲は特異点1,-1を含まないのでしょうか？


②なぜz=-1を中心とし半径rの円周上の点zの集合は{z;|z+1|=r}となるのでしょうか？

③{z;|z+1|=r}に関して、z→-1の場合、
|z+1|=|-1.001+1|=0.001となり半径2のrに収まるためでしょうか？

お礼日時：2023/03/02 08:34

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/01 16:45

f(z)=1/(z^2-1)=1/{(z+1)(z-1)}

だから

f(z)の特異点は
z=1
と
z=-1
の
2つあるのです

だから当然

ローラン展開は

z=1を中心とするローラン展開
と
z=-1を中心とするローラン展開

の
2通りあるのです

z=1を中心とするローラン展開の範囲は特異点1,-1を含まないから
1と-1の距離は2だから
(z=1を中心とし半径rの円周上の点zの集合は{z;|z-1|=r}だから)
z=1を中心とする半径2の円の中心と周を除く内部全体
{z;0<|z-1|<2}=∪_{0<r<2}{z;|z-1|=r}

z=-1を中心とするローラン展開の範囲は特異点1,-1を含まないから
1と-1の距離は2だから
(z=-1を中心とし半径rの円周上の点zの集合は{z;|z+1|=r}だから)
z=1を中心とする半径2の円の中心と周を除く内部全体
{z;0<|z+1|<2}=∪_{0<r<2}{z;|z+1|=r}

となるのです

No.1 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/03/01 14:58

また、堂々巡りの問答になるかもしれないから

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13271225.html

をみて、マクローリン展開でも、ローラン展開でも近似値をも求めることには変わりはないことを実感してみてはどうかね。