以前に 「画像のローラン展開は f(z)=1/(z^2-1) の z=-1の周り0<|z+1|<2で

以前に
「画像のローラン展開は

f(z)=1/(z^2-1)
の
z=-1の周り0<|z+1|<2での展開
iii)0<|z+1|=r<2
なので

過去に何度も書いた
z=1の周りでの展開
i)0<|z-1|=r<2
ii)2<r=|z-1|
のどちらでもありません」
と言われたのですが、

どこから0<|z+1|=r<2の範囲と作れたのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 補足で申し訳ありません。
  
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側 |z-1l<r<2
  で
  g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
  
  について。
  
  n≦-2の場合、
  |z-1l<r<2のzにz=1を代入しても0<r<2は成り立つし、
  |z-1l<r<2のzにz→1を代入しても0.001<r<2は成り立つため、特異点であると導けました。
  ですが、以前教えて頂いた時はz=1の時は特異点ではないと言われました。
  z=1の時は特異点ではないので正側と言えるのでしょうか？
  
  私は何を間違ったのでしょうか？

    補足日時：2023/03/01 16:19

• z=π/2+0.001として、
  
  tan(z)をローラン展開して
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  としたのですが、
  
  どうやって
  
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  から
  =-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・
  と導いたのでしょうか？
  
  どうさ過程の式を教えて頂けないです。

    補足日時：2023/03/02 14:00

• z=π/2+0.001として、
  
  tan(z)をローラン展開して
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  としたのですが、
  
  どうやって
  tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
  から
  =-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・
  と導いたのでしょうか？
  
  また、
  a(2) (z-π/2)^2の値はどうやって導いたか教えて頂けないでしょうか。
  
  どうか過程の式を教えて頂けないです。
  
  また、
  「tan(z)をローラン展開して
  tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・」を解答に書いて頂いた上で、
  「訂正です0でない第2項はa(1)の項でした」と書かれていたのですが、意味がわかりませんでした。
  どういう意味か教えて頂けないでしょうか？
  
  解答はmtrajcp様から頂いたものです。

    補足日時：2023/03/02 14:12

• ありものがたりさんに質問がございます。
  「F(z) が z=a を特異点に持つということは
  lim[z→a]F(z) が発散することじゃなく
  F(z) が z=a で微分不能だということだと言ってるんですよ？
  例えば、F(z) = z sin(1/z) の場合、
  lim[z→0]F(0) = 0 は収束しますが、F’(0) は存在しません。
  で、z=0 はこの F(z) の特異点だという話をしているんです。」
  より以前、mtrajcp様に極の定義を画像のように教えて頂いたのですが、
  
  F(z) = z sin(1/z)の場合より、
  z→0の時、F(z) = z sin(1/z)は収束するまではわかりますが、収束するにも関わらず微分が出来ないならば、極の定義に反していると思うのですが、

  
    補足日時：2023/03/03 07:43

• 私は何かしら勘違いをしていて、正しくは
  収束とは、a(n)はコーシーの積分定理により0になります。
  コーシーの積分定理によりa(n)は積分出来るため、微分も出来ると考えたのですが、これは単純にa(n)が0になるため微分が出来ない、
  微分が出来ないからz=0 はこの F(z) の特異点だと伝えたいのでしょうか？
  
  また、発散とはa(n)の式が作れるため、微分が可能であり、特異点ではないという事でしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/03/03 07:49

• ①に関して
  >>
  z=1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  z=-1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  どちらも
  特異点1,-1を含みません
  
  画像のようにz=1あるいはz=-1が中心とするにしても、黄色や緑色の範囲では特異点z=1,-1を含まないと言うイメージでしょうか。
  
  ちなみに、
  z=1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  z=-1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  どちらも
  特異点1,-1を含まないのはf(z)=1/(z^2-1)の分母が0になり式として成り立たないため、黄色、緑色の範囲ではz=1,-1を含まないわけでしょうか？
  
  出来れば、画像のような図を使って説明してくださると助かります。

  
    補足日時：2023/03/04 02:59

• 度々申し訳ありません。
  
  質問があります。
  
  ⑥
  「z=1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  z=-1を中心とするローラン展開の範囲
  も
  どちらも
  特異点z=1,-1を含まれない」
  について、
  「z=1を中心とするローラン展開の範囲」の「z=1」と
  「特異点z=1,-1を含まれない」の「z=1」は同じzでしょうか？
  すなわち、z=1はローラン展開の範囲の中心点であり、特異点でもあるわけでしょうか？
  
  ⑦
  画像の図は0<|z-1|<2は赤点のz=1を含まれないとのことですが、この図は
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側 |z-1l<r<2
  のn≧-1とn≦-2のどちらの場合を表した図でしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/03/04 09:29

• mtrajcp様、お手数をお掛けしますが、
  どうか、1枚目と2枚目の画像を結合した質問に答えて頂けるとありがたいです。
  毎回毎回申し訳ありません。

  
    補足日時：2023/03/05 07:46

• ありがとうございます。
  画像の補足の質問にも答えて頂けるとありがたいです。

  
    補足日時：2023/03/06 18:36

• 図に関しては図は
  i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  z-1=r
  の内側|z-1|<r<2
  で
  g(z)=1/1(z+1)(z-1)^(n+2)
  
  のn≧-1の場合、z=1が極であり、特異点でもあるため、図の赤い中心点はz=1であり、式g(z)の分母が0になるため、除かれるとわかりました。(※g(z)の式はn≧-1の場合、点z=1が極であり、特異点であるため、式g(z)の分母は0になるため、微分できないため、コーシーの積分定理により0にならないため、a(n)=の式が導けてるため、式g(z)において、n≧-1でz=1の時、ローラン展開することが出来ます。)

  
    補足日時：2023/03/06 22:25

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/03 19:52

③

0<r<2
z∈{z;|z+1|=r}
の場合
0<r=|z+1|だから
0<r=|z+1|=r<2
0<|z+1|<2

z=-1の場合
|z+1|=|-1+1|=0だから
|z+1|=0
だから

-1は{z;|z+1|=r}の要素ではありません

z=1の場合
|z+1|=|1+1|=2だから
|z+1|=2
だから

1は{z;|z+1|=r}の要素ではありません

z=-1.001
でなくても
-3<z<-1.または-1<z<1　となるようなどんな実数zに対しても
↓各辺に1を加えると
-2<z+1<0.または0<z+1<2
∴
0<|z+1|<2
半径2のrに収まるから
z=-1.001である必要は全くない
z=0であってもよいし
z=1/2でもよい
…
-3<z<-1.または-1<z<1　となるようなどんな実数zでもよい

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/03 19:30

②

z=-1を中心とし半径rの円周上の点zの集合は
zと(-1)の距離がrとなるような点zの集合だから

zと(-1)の距離は
zと(-1)の差の絶対値
|z-(-1)|=|z+1|
だから

zと(-1)の距離がr であるというのは
|z+1|=r
であるというのと同じだから

zと(-1)の距離がr であるようなzの集合は
|z+1|=r
であるようなzの集合
{z;|z+1|=r}
と
同じ

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/03 19:22

①

z=1を中心とするローラン展開の範囲
も
z=-1を中心とするローラン展開の範囲
も
どちらも
特異点1,-1を含みません

特異点1,-1を含む展開等存在しません

展開領域では必ず正則でなければなりません
決して特異点を含んではいけません!

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/03 13:38

F(z) = z sin(1/z) の z = 0 は、

極ではなく、真性特異点です。
極と真性特異点それぞれの定義については、
一度くらいちゃんと本を読んで確認しましょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
極の定義に関係なく、
例えば、F(z) = z sin(1/z) の場合、
lim[z→0]F(0) = 0 は収束しますが、F’(0) は存在しません。
理由はF(z)が収束する場合はコーシーの積分定理によりa(n)は0になり、ローラン展開の公式よりa(n)を使ってF(z)のローラン展開を作るが、a(n)が0であるためf(z)自体がローラン展開が存在しないため、F(z)を微分できない。

すなわち、z=0 はこの F(z) の特異点だとわかりました。

お礼日時：2023/03/03 14:08

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/02 21:45

別件の質問は、別に投稿しなよ。

この回答へのお礼

わかりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2023/03/03 06:57

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/02 19:39

1/(z^2-1) を z=1 中心にローラン展開したいなら、単に

1/(z^2-1) = (-1/2)/(z-1) + (1/2)/(z+1) と部分分数分解した後、
正則部分を等比級数の公式を逆用して
(1/2)/(z+1) = (1/4) / (1 + (z-1)/2)
　　　　　　= (1/4) Σ[k=0→∞] ( (z-1)/2 )^k
　　　　　　= Σ[k=0→∞] (1/2^(k+2)) (z-1)^k
と展開すれば済みます。
あなたが理解していない公式を、無理に持ち出す必要はありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

出来ればtan(z)をz=π/2を中心にローラン展開する上で、

z=π/2+0.001として、

tan(z)をローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
としたのですが、

どうやって
tan(z)=-1/(z-π/2)+a(2) (z-π/2)^2+・・・
から
=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・
と導いたのでしょうか？

また、
a(2) (z-π/2)^2の値はどうやって導いたか教えて頂けないでしょうか。

どうか過程の式を教えて頂けないです。

また、
「tan(z)をローラン展開して
tan(z)=-1/(z-π/2)+(1/3)(z-π/2)+・・」を解答に書いて頂いた上で、
「訂正です0でない第2項はa(1)の項でした」と書かれていたのですが、意味がわかりませんでした。
どういう意味か教えて頂けないでしょうか？

解答はmtrajcp様から頂いたものです。

どうかわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

お礼日時：2023/03/02 21:13

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/02 08:46

＞ n≦-2の時はa(n)=0であるため、z=-1は正則でないと計算が矛盾してしまいます。

＞ 何を間違えているのか教えて頂けないでしょうか。

写真の文章に目を通しましたが、a(n) を定義していませんね。
そういうとこですよ。
f(z) と g(z) を混同したことと共通なのですが、そうやって
主語や目的語が不明確な話をするから、自分が何をやっているか
途中で判らなくなるんだと思います。
以前から、この長い質問のシリーズで同種の混乱を繰り返していますね？

＞ lim[z→a]F(z)が収束する場合、
＞ F(z) が z=a で微分可能という事でしょうか？

なんでわざわざ正反対に誤読するんでしょうか。日本語が苦手なの？
F(z) が z=a を特異点に持つということは
lim[z→a]F(z) が発散することじゃなく
F(z) が z=a で微分不能だということだと言ってるんですよ？
例えば、F(z) = z sin(1/z) の場合、
lim[z→0]F(0) = 0 は収束しますが、F’(0) は存在しません。
で、z=0 はこの F(z) の特異点だという話をしているんです。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/01 19:46

補足についても、やはり日本語が不十分なことによる混乱です。

いつもこのパターンですね。
z=1 が特異点か特異点でないか聞いているようですが、
z=1 が「どの関数の」特異点かどうか聞いているのかを
明確にしていません。だから混乱するんです。

z=1 は f(z)=1/(z^2-1) の特異点であり、
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} (ただし n≦-2) の特異点ではありません。
f(z) の話をしているのか g(z) の話をしているのかを確認すれば、
混乱は解消されるでしょう。

ところで、ちなみにですが、z=a が F(z) の特異点かどうかは、
lim[z→a]F(z) が発散するかどうかではなく、
F(z) が z=a で微分不能かどうかで決まります。間違えないように。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。

z=-1 はn≦-2において
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}では特異点あると導けたのですが、

n≦-2の時はa(n)=0であるため、z=-1は正則でないと計算が矛盾してしまいます。
何を間違えているのか教えて頂けないでしょうか。


また、
「lim[z→a]F(z) が発散するかどうかではなく、
F(z) が z=a で微分不能かどうかで決まります。」
においてはlim[z→a]F(z)が収束する場合、
F(z) が z=a で微分可能という事でしょうか？

お礼日時：2023/03/02 06:24

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/01 19:45

＞ どこから 0<|z+1|<2 の範囲と作れたのでしょうか？

日本語が破綻しているので、何を質問しているのか判りません。
f(z) の z=-1 を中心とするローラン展開の収束域が
0<|z+1|<2 である理由聞いているのでしょうか？
それなら、ローラン展開を作ってみた後で、
級数の正則部の収束半径が 2,
主要部を 1/(z+1) の冪級数と見た場合の収束半径が ∞
であることを計算で確かめれば解るでしょう。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/01 16:59

補足

i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2
で
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
n≦-2の場合、

|z-1l<r<2のzにz=1を代入しても0<r<2は成り立つし、
|z-1l<r<2のzにz→1を代入しても0.001<r<2は成り立つため、
特異点であるのではありません間違いです

g(z)の特異点があるかどうかは
z→1とした時　g(z)が発散すればz=1はg(z)の特異点であるというのです
z→1とした時　g(z)が収束すればz=1はg(z)の特異点でないというのです

z=1はf(z)の特異点であって
z=1はg(z)の特異点ではないのです

特異点の定義を確認せよ