ゲームの確率。

超単純な野球ゲームがあるとします。

打者が9人ずついて、打席では、単純なヒットかアウトしかなく(四球も死球も、その他もなく)、もしも、塁にランナーがいたときにヒットが出れば、ランナーはひとつ先の塁にだけ必ず進めるとします。

ここで、AチームとBチームの全ての打者の打率は3割です。
だだしAチームの3番バッターだけは、ホームランを打ちます。その確率は、彼の安打のうちの1割です。

この状態で延長はいつまでもできるとして、AチームがBチームに勝つ確率は、どうやって計算されますか。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/05 19:11

各イニングで、安打だけで得点する期待値は

・1点：6C4 * 0.3^4 * 0.7^3
　(4人が安打を打ち、３人が凡退。7人目は凡退でチェンジ）
・2点：7C5 * 0.3^5 * 0.7^3
　(5人が安打を打ち、３人が凡退。8人目は凡退でチェンジ）
・3点：8C6 * 0.3^6 * 0.7^3
　(6人が安打を打ち、３人が凡退。9人目は凡退でチェンジ）
・4点：9C3 * 0.3^7 * 0.7^3
　(7人が安打を打ち、３人が凡退。10人目は凡退でチェンジ）
・・・
（以下、永遠に。ただし、3番バッターのシングル打率は 0.27 にしないといけないので、「打順」まで考えると膨大な場合分けをしないといけません）

それに加えて、3番打者いる場合には
・ソロホームランで1点だけを獲得　→1点
・ホームラン前に1人だけランナーがいるツーランホームラン　→2点
・ホームラン前に2人ランナーがいるスリーランホームラン　→3点
・ホームラン前に3人ランナーがいる満塁ホームラン　→4点
も考えます。
以上の期待値を合計して「各イニングの得点期待値」が計算できるでしょう。

ただし、それは両チームとも全く同じです。
従って、計算するまでもなく、両チームの勝つ確率は 1/2 ずつです。