(a+1)(a-1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)の展開の途中計算を教えてください

(a+1)(a-1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)の展開の途中計算を教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/23 23:15

(a + 1)(a - 1)

= a(a - 1) + 1(a - 1)
= a^2 - a + a - 1
= a^2 - 1

また
(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)
= [(a^2 + 1) - a][(a^2 + 1) + a]
= (a^2 + 1)^2 - a^2
=a^4 + 2a^2 + 1 - a^2
= a^4 + a^2 + 1

もっと「途中計算」が欲しければ
(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)
= a^2(a^2 + a + 1) - a(a^2 + a + 1) + 1(a^2 + a + 1)
= a^4 + a^3 + a^2 - a^3 - a^2 - a + a^2 + a + 1
= a^4 + a^2 + 1

よって
与式 = (a + 1)(a - 1)(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)
= (a^2 - 1)(a^4 + a^2 + 1)
= a^2(a^4 + a^2 + 1) - 1(a^4 + a^2 + 1)
= a^6 + a^4 + a^2 - a^4 - a^2 - 1
=a^6 - 1

*******************************
（別解）
(a + 1)(a^2 + a + 1)
= a(a^2 + a + 1) + 1(a^2 + a + 1)
= a^3 + a^2 + a + a^2 + a + 1
= a^3 + 2a^2 + 2a + 1

(a - 1)(a^2 - a + 1)
= a(a^2 - a + 1) - 1(a^2 - a + 1)
= a^3 - a^2 + a - a^2 + a - 1
= a^3 - 2a^2 + 2a - 1

よって
与式 = (a^3 + 2a^2 + 2a + 1)(a^3 - 2a^2 + 2a - 1)
= [(a^3 + 2a) + (2a^2 + 1)][(a^3 + 2a) - (2a^2 + 1)]
= (a^3 + 2a)^2 - (2a^2 + 1)^2
= a^6 + 4a^4 + 4a^2 - (4a^4 + 4a^2 + 1)
= a^6 - 1


少なくとも
(A + B)(A - B) = A^2 - B^2
は自由自在に使えるようにしないと。
一生に１回でよいので、自分で展開してみれば、あとは納得して使えるでしょ？

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/24 14:55

(A+B)(A-B)=A²-B² を使います。

(a+1)(a-1)(a²-a+1)(a²+a+1) ・・・公式と 項の順番の入れ替え、
=(a²-1){(a²+1)-a}((a²+1)+a} ・・・公式で因数分解、
=(a²-1){(a²+1)²-a²} ・・・ここからは 普通に 展開。
=(a⁴-1)(a²+1)-a²(a²-1)
=a⁶+a⁴-a²-1-a⁴+a²
=a⁶-1 。

No.2 回答者： break_time 回答日時： 2023/04/23 22:56

展開すると

(a+1)(a-1)=a^2-1
(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)=a^4＋2a^2+2a^2+1
　　　　　　　　　　　 =a^4+4a^2＋1
(a^2-1）(a^4+4a^2＋1)
あとは自分で解いてください。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/23 22:53

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13440100.html
↑で話した公式↓を使う。
(A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3.

(a+1)(a-1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)
= (a+1)(a^2-a+1)・(a-1)(a^2+a+1)
= (a^3+1)・(a^3-1)
= a^6 - 1.
最後は、和と差の積。